Ganzzahlige Lösungen der gegebenen Gleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich soll die ganzzahligen Lösungen der folgenden Gleichung bestimmen: \( x^{2} \) + 9xy + \( y^{2} \) = 6.

Problem/Ansatz:

Hey Leute,
Kann mir jemand bei folgender Gleichung helfen?

Mein Ansatz war erst Modulo 3 nehmen. Dann komm ich drauf dass \( x^{2} \) und \( y^{2} \) Vielfache von 3 sein müssen. Also auch x und y vielfache von 3. Aber dann komm ich nicht weiter... Kann mir jemand sagen wie man allgemein an so eine Aufgabe rangeht und was in diesem Fall die Lösung ist. Danke

Comments

Das hat keine ganzzahligen Lösungen.

Answer 1

Rechne in \(\mathbb{F}_7\):

\(x^2+9xy+y^2=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=6\).

Die einzigen Quadrate in \(\mathbb{F}_7\) sind jedoch 0,1,2,4.

Also ganzzahlig nicht lösbar.

Comments

Mein Ansatz war erst Modulo 3 nehmen. Dann komm ich drauf dass \( x^{2} \) und \( y^{2} \) Vielfache von 3 sein müssen. Also auch x und y vielfache von 3.

Guter Ansatz, so geht es IMHO auch!

Wenn \(x\) und \(y\) Vielfache von 3 sein müssen, dann gilt doch, dass $$x = 3x', \quad y=3y', \quad x',\,y'\in \mathbb Z$$Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert$$\begin{aligned} 9x'^2 + 9xy + 9y'^2 &= 6 &&|\, \div 3 \\ 3(x'^2 + xy +y'^2) &= 2\end{aligned}$$Laut Voraussetzung müsste nun aber der Term auf der linken Seite der Gleichung hinter der 3 ganzzahlig sein. Es existiert aber keine ganzzahlige Zahl, die mit 3 multipliziert 2 ergibt.

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Auch eine schöne Lösung :-)

Answer 2

Man kann zeigen, dass 6-7xy eine Quadratzahl sein müsste, was aber niemals sein kann.