Grenzwertbetrachtung mit Wurzel und log?

Question

Hallo!

ich bin gerade dabei Grenzwerte zu betrachten und komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter:

(1) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{2\sqrt{n}}{n·2^n} \)

(2) \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{\frac{n}{log(n)}}{n^·\sqrt{n}} \)

Kann mir bitte hier jemand bei den beiden Aufgaben den Ansatz geben oder mir irgendwie weiterhelfen ich habe leider absolut keine Ahnung? Danke im voraus. Generell wie betrachtet man den Grenzwert wenn Wurzel und log im Spiel sind?

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du die Terme nur umzuformen. Die Zähler werden in beiden Fällen zu \(1\) und die Nenner konvergieren jeweils gegen \(+\infty\):$$\frac{2\sqrt n}{n\cdot 2^n}=\frac{1}{\sqrt n\cdot 2^{n-1}}\to0$$$$\frac{\frac{n}{\log(n)}}{n\,\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt n\cdot\log(n)}\to0$$

Falls es mal nicht so übersichtlich ist, hilft in Situationen mit \(\sqrt x\) und \(\ln(x)\) oft die folgende Abschäzung weiter:$$\ln(x)<\frac{x-1}{\sqrt x}\quad\text{für }x>1$$

~plot~ ln(x) ; (x-1)/sqrt(x) ; [[0|20|0|4,5]] ~plot~

Answer 2

Hallo

im ersten Fall √n/n=1/√n  und dann siehst du hoffentlich dass das nach 0 geht, im zweiten den Doppelbruch zu einem machen und kürzen ,dann siehst du hoffentlich auch wohin das geht.

Gruß lul