Zeigen Sie, ist (v1,...,vn) eine Basis von V

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie, ist (v1, . . . , vn) eine Basis von V und

w = λ1v1 + . . . + λnvn ∈ V mit λn ≠ 0, so ist (v1, . . . , vn−1, w) wieder eine Basis von V .

Comments

Es handelt sich um eine Form des Austauschlemmas, vgl. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Austauschlemma_und_Austauschsatz_von_Steinitz .

Zu zeigen im Beweis ist zum einen, dass es sich bei \((v_1,...,v_{n-1},w)\) erneut um ein Erzeugendensystem von \(V\) handelt (zeige, dass sich jeder Vektor \(v\in V\) als Linearkombination aus diesen Vektoren darstellen lässt), sowie diese Vektoren \(v_1,...,v_{n-1},w\) linear unabhängig voneinander sind.

In beiden Teilen ist das wichtigste, \(w=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot v_i\), bzw. das Umstellen nach \(v_n\) auszunutzen.

Answer 1

Es genügt zu zeigen, dass \(v_n\) in dem von

\(v_1,\cdots,v_{n-1},w\) erzeugetn Unterraum liegt.

In der Tat haben wir

\(v_n=w-(\lambda_1/\lambda_n)v_1-\cdots-(\lambda_{n-1}/\lambda_n)v_{n-1}\)