Unbestimmtes Integral mit Substitutionsregel: ∫ (8x²) / (x³+2)³ dx

Question

Ich brauche Hilfe bei der Substitutionsregel, um das folgende unbestimmte Integral zu berechnen:

\( \int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{3}} d x \)

Answer 1

Hi,

Substituiere \(u = x^3+2\), dann muss ja auch dx ersetzt werden durch du. Ein einfaches ersetzen ist nicht ausreichend. Aus der Substitution ergibt sich \(du = 3x^2 dx\)

Folglich kann das Integral umgeschrieben werden zu:

$$\int\frac{8x^2}{u^3}\; \frac{du}{3x^2} = \frac83\int \frac{1}{u^3}\; du$$

Das ist eine sinnvolle Substitution gewesen -> Im Integral wird nur nach u integriert. Wäre noch ein x drin gewesen, wäre die Substitution falsch/unvollständig.

Integrieren und resubstituieren:

$$= -\frac{4}{3u^2} + c = -\frac{4}{3(x^3+2)^2} + c$$


Grüße

Comments

Danke, das hat mich auf jeden Fall schon einmal weiter gebracht.

Einen Schritt verstehe ich dabei nur noch nicht so ganz: Wenn ich das Integral auflösen möchte, dann muss ich doch die Aufleitung der Funktion bilden, oder nicht?

Kannst du mir den Schritt nochmal erklären?

\( \frac{8}{3} \int \frac{1}{u^{3}}=-\frac{4}{3 u^{2}}+c \)

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"Aufleitung" ist ein blödes Wort. Aufführen ist ja auch nicht das Gegenteil von abführen :P.


Integrieren von 1/u^3 ---> -1/2*1/u^2

(Das ist kein Problem oder?)
Nun noch den Vorfaktor 8/3 beachten -> 8/3*(-1/2)*1/u^2 = -4/3*u^2