(1) Wann heißen Vektoren v1,..., vk in V linear unabhängig?

Question

Seien V; W zwei endlich dimensionaler K-Vektorräume
und sei F:V-› W eine lineare Abbildung.

(1) Wann heißen Vektoren v1,..., vk in V linear unabhängig? Geben Sie die
Definition an. (Falls Sie in Ihrer Antwort linear abhängig verwenden, müssen
Sie auch diesen Begriff definieren.)

(2) Seien v1,..,vk in V s.d. die Vektoren F(v1),…, F(vk) linear unabhängig in W sind.Zeigen Sie, das v1,...,vk  linear unabhängig in V sind.

(3) Zeigen Sie,
dim Ker F + dim Bild F = dim V.

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

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Ich benötige die ganze Aufgabe schreibe in zwei Tagen die Klausur?

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Was (1) anbetrifft, warum schaust du nicht in deine Unterlagen?
Wir sollen doch nicht ernsthaft hier eure Definitionen wiederkäuen?

Zu (3): Den Beweis findest du in deinen Unterlagen.

Answer 1

Vielleicht hilft das:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit#Definition

2) Verwende wie in der Definition den Ansatz a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0

Wegen der Linearität von F ist auch F( a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn ) = 0

und das ist    a1F( v1) + a2F(v2) + ... + anF(vn ) = 0

und die a_i sind alle 0 wegen der lin. Unabh. von F( v1) ,F(v2) , ... ,F(vn ).