Integralrechnung, a bestimmen wenn der Flächeninhalt 16/3FE beträgt.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie a so, dass der Flächeninhalt mit der y-Achse eingeschlossene Fläche 16/3 FE beträgt.

Funktion: f(x) = -ax²+2

Problem/Ansatz:

Nullstellen: x1 = √2/a ; x2 = -√2/a

Stammfunktion: -1/3ax³ + 2x

Ansatz: (-1/3a • (√2/a)³ + 2√2/a) - (- 1/3a • (-√2/a))³ + 2(-√2/a))

Problem: Ich weiß zwar, dass a = 0,5 ist, jedoch habe ich Probleme bei der Termumformung bzw. das ganze Konstrukt nach a aufzulösen. Bitte um Hilfe, danke :)

Answer 1

Aloha :)

Die ermittelten Nullstellen sind korrekt:\(\quad x=\pm\sqrt{\frac2a}\)

Auch das Integral bzw. die Stammfunktion passen: \(\quad F(x)=-\frac a3x^3+2x\)

Jetzt musst du nur noch rechnen.

$$\frac{16}{3}\stackrel!=\left|F\left(\sqrt{\frac2a}\right)-F\left(-\sqrt{\frac2a}\right)\right|=\left|\left(-\frac a3\cdot\frac{\sqrt2^3}{\sqrt a^3}+2\frac{\sqrt 2}{\sqrt a}\right)-\left(\frac a3\cdot\frac{\sqrt2^3}{\sqrt a^3}-2\frac{\sqrt 2}{\sqrt a}\right)\right|$$$$\phantom{\frac{16}{3}}=\left|-\frac {2a}{3}\cdot\frac{\sqrt2^3}{\sqrt a^3}+4\frac{\sqrt 2}{\sqrt a}\right|=\left|-\frac {2\,\cancel a}{3}\cdot\frac{2\sqrt2}{\cancel a\,\sqrt a}+4\frac{\sqrt 2}{\sqrt a}\right|=\left|-\frac {4}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt a}+4\frac{\sqrt 2}{\sqrt a}\right|=\frac83\,\frac{\sqrt 2}{\sqrt a}$$Auf beiden Seiten durch \(\frac83\) dividiert liefert:$$2=\frac{\sqrt2}{\sqrt a}\implies 4=\frac2a\implies a=\frac24\implies a=\frac12$$

Answer 2

Aufgrund der Symmetrie spart man sich viel Vorzeichenakkrobatik, wenn man mit den Integral von 0 bis zur positiven Nullstelle nur den halben Flächeninhalt, also 8/3 FE, ansetzt.