Flächeninhalt (Integral/Stammfunktion)

Question

die Aufgabe lautet : Berechnen Sie möglichst geschickt

\( \int\limits_{0}^{\infty}(-2 \sqrt{x^2+4} \) dx + 2 \( \int\limits_{0}^{\infty}\sqrt{x^2+4} \)dx

(Dort wo das ∞- Zeichen steht,ist eigentlich eine 1 )

Mein Ansatz:

Aufgrund der Gemeinsamkeiten kann man beide Funktionen (Integrale?) zusammenfassen : \( \int\limits_{0}^{\infty} x - 2 \sqrt{x}^2+4  + 2  \sqrt{x^2+4} \) dx. Der Anfang der Stammfunktion wäre \( \frac{1}{2} \) x² - 2x  und ab da komme ich nicht weiter. Soll ich erst die Wurzel mal zwei nehmen oder erst das Ergebnis?

LG

Answer 1

Also wie nun. Soll $$  \int_0^1 -2 \sqrt{x^2+4} dx + 2 \int_0^1  \sqrt{x^2+4} dx = \int_0^1 \left( 2 \sqrt{x^2+4} - 2 \sqrt{x^2+4} \right) dx = 0 $$ ausgerechnet werden?

Comments

Das ist doch die selbe Funktion (Nur zusammengefasst)

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Schon gut, ich habe es verstanden. Ich muss nur die Stammfunktion von 2-x bilden, weil die beiden Wurzeln gleich 0 sind.

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Du brauchst überhaupt keine Stammfunktion bilden, sondern nur die Differenz von zwei gleichen Funktionen bilden, und ist 0. Und 0 integriert ist 0.

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Und 0 integriert ist 0

Sicher ?

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In dem Fall schon, Du Schlauberger.

Answer 2

\( \int\limits_{0}^{\infty}(-2 \sqrt{x^2+4} \) dx + 2 \( \int\limits_{0}^{\infty}\sqrt{x^2+4} \)dx=\( \int\limits_{0}^{\infty}(-2 \sqrt{x^2+4} \) dx + \( \int\limits_{0}^{\infty} \) 2\( \sqrt{x^2+4} \)dx =\( \int\limits_{0}^{\infty}(-2 \sqrt{x^2+4} \)  + 2 \(\sqrt{x^2+4} \))dx=0