Wie löst man das? Vektoren

Question

Aufgabe:

Punkt S(4/6/10) ist die Spitze der Pyramide ABCS, deren Grundfläche das Dreieck ABC ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke MS des Mittelpunkts M der Grundkante BC und der Pyramidenspitze S die Höhe des Volumens der Pyramide ABCS ist.

A(3/-1/5) B(5/3/1) C(7/-3/9)

Problem/Ansatz:

Wie löst man das?

Answer 1

Zeige, dass der Normalenvektor der Grundfläche ein Vielfaches des Vektors MS ist.

ODER

dass der Vektor MS sowohl auf dem Vektor AB als auch auf dem Vektor AC senkrecht steht.

(Die zweite Variante musst du verwenden, wenn ihr das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) noch nicht behandelt haben solltet und nur mit dem Skalarprodukt arbeitet.)

Comments

Was für werte hat M?

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Für den Mittelpunkt M der Strecke \( \overline{P_{1} P_{2}} \)
- in der Ebene mit den Endpunkten \( P_{1}\left(x_{1} ; y_{1}\right) \) und \( P_{2}\left(x_{2} ; y_{2}\right) \) gilt \( M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2} ; \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) ; \)
- im Raum mit den Endpunkten \( P_{1}\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right) \) und \( P_{2}\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right) \) gilt \( M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2} ; \frac{y_{1}+y_{2}}{2} ; \frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right) \).

Quelle: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/mittelpunkt-einer-strecke