Beweisen eines Maximums

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für alle x, y ∈ R:

max {x, y} = \( \frac{x + y + |x − y|}{2} \)

Problem/Ansatz:

Widerspruchsbeweis:

min {x, y} = \( \frac{x + y + |x − y|}{2} \)

x = 1; y = 3

min {x, y} = \( \frac{1 + 3 + |1 − y|}{2} \) = \( \frac{6}{2} \) = 3

Da die Voraussetzung eines Minimums ist, die größte unterste Schranke innerhalb der Menge zu sein, ist 3 falsch, da 1 < 3.
Folglich ist bewiesen, dass max {x, y} = \( \frac{x + y + |x − y|}{2} \) das Maximum für x, y ∈ R berechnet.

Reicht das als Beweis oder muss ich die Sache anders angehen und wenn ja, könnte mir jemand erklären wie?
Ich bin komplett unerfahren, wenn es darum geht Aussagen zu Beweisen.

Answer 1

Das reicht in mehrfacher Hinsicht nicht.

Du scheinst irgendwie davon auszugehen, dass der Term, wenn er nicht das Maximum beschreibt, das Minimum beschreiben muss. Warum eigentlich? Es könnte ja ein Term sein, der weder mit Max noch mit Min was zu tun hat.

Und wie willst du mit einem Einzelbeispiel eine Aussage beweisen, die für ALLE (x,y) gelten soll?

So könnte es gehen:

Sei x≥y (und somit x das Maximum)..

Dann gilt |x-y|=x-y und somit \( \frac{x + y + |x − y|}{2} \)=\( \frac{x + y + (x − y)|}{2} \)=\( \frac{2x}{2}=x \)=Max(x,y).

Jetzt noch den Fall x<y behandeln...

Comments

Ja das ergibt Sinn, die korrekte Antwort auf den Beweis wäre dann die Antwort von Tschakabuma, richtig?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Behauptung:\(\quad\operatorname{max}(x;y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}\)

Du brauchst nur 2 Fälle zu prüfen:

1. Fall \(x\ge y\)$$\frac{x+y+|x-y|}{2}=\frac{x+y+(x-y)}{2}=\frac{2x}{2}=x\quad\checkmark$$

2. Fall \(x<y\)$$\frac{x+y+|x-y|}{2}=\frac{x+y+(y-x)}{2}=\frac{2y}{2}=y\quad\checkmark$$

In beiden Fällen liefert der Term also tatsächlich das Maximum.