Zeigen Sie: (i*cos (π/3) - sin (π/3))^5 = i*cos (π/3) + sin (π/3)

Question

Hallo zusammen,

Ich muss die folgende Aufgabe lösen:

Aufgabe:

Zeigen Sie: (i*cos (π/3) - sin (π/3))^5 = i*cos (π/3) + sin (π/3)

Meine Idee war es zunächst:

(i*cos (π/3) - sin (π/3))^5

= (- sin (π/3) + i*cos (π/3) )^5

= (-1* sin (π/3) + i*cos (π/3) )^5

= -1* e^(i*(π/3))^5

Nun würde ich die 5 im Exponenten aufteilen, dabei habe ich aber keine sinnvolle Aufteilung gefunden. Wie würdet ihr diese Aufgabe lösen ?

Answer 1

Es ist \(i^5=i\). Daher geht die in Rede stehende Gleichung nach Division

durch \(i\) über in

\((\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))^5=\cos(\pi/3)-i\sin(\pi/3)=\)

\(=\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3)\quad (*) \).

In Exponentialschreibweise haben wir

\((e^{i\pi/3})^5=e^{i\cdot 5/3\cdot \pi}=e^{i(2\pi-\pi/3)}=e^{i(-\pi/3)}\),

also die rechte Seite von \((*)\).

Du kannst natürlich auch den Beweis mit der Formel

von Moivre führen. Das geht genauso gut ...