Zeigen Sie die Stetigkeit auf [-1,2] und die Differenzierbarkeit auf [-1,2] \backslash\{0\} von g .

Question

a)
\( g:[-1,2] \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\left|x \cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right| \)
Zeigen Sie die Stetigkeit auf \( [-1,2] \) und die Differenzierbarkeit auf \( [-1,2] \backslash\{0\} \) von \( g . \)

Die Stetigkeit dieser Funktion lässt sich ja damit begründet, dass sie eine Komposition stetiger Funktionen ist. Allerdings werden bei mir in der Lösung für Differenzierbarkeit zwei Fälle unterschieden. Meine Frage ist warum betrachtet man die zwei verschiedenen Fälle, also x aus [-1,0) und x aus (0, 2]. Könnte man nicht einfach sagen, dass die Funktion eine Komposition differenzierbarer Funktionen ist und damit differenzierbar ist, ohne diese beiden Fälle zu betrachten ?

Comments

Komposition diffbarer. Funktionen funktioniert nicht,

da die Betragsfunktion in 0 nicht diffbar. ist.

Answer 1

y = x·e^(- x^2/2) hat eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 0.

Das ist genau die Stelle an der an der die Betragsfunktion einen Knick bekommt und dadurch nicht mehr Differenzierbar ist. Bestimme mal den rechts und linksseitigen Grenzwert an der Stelle 0 und vergleiche die beiden Werte miteinander.