Stetigkeit und Differenzierbarkeit f(x,y) = y * g(x)

Question

Hallo

Sei $$ g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R $$ beliebig und$$ f : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R $$ definiert durch $$ f(x, y) = yg(x) $$. Beweisen Sie, dass f genau dann im Nullpunkt differenzierbar ist, wenn g in x = 0 stetig ist.

Das ist doch eine genau dann wenn Aussage, also muss ich beide Richtungen zeigen.

Sei also f in (0,0) diffbar. Dann existieren die partiellen Ableitungen und diese müssen stetig sein:

$$ \partial_y f (x,y)=y $$und  $$ \partial_x f (x,y)=y g'(x) $$

Aber irgendwie komme ich dann nicht weiter. Wie wäre denn hier die Idee?

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweis Differenzierbarkeit von f, wenn g in x = 0

Stichworte: differenzierbarkeit,nullpunkt,stetigkeit,analysis

Sei g : ℝ → ℝ beliebig und f : ℝ² → ℝ definiert durch f (x, y) = yg (x). 

Beweisen Sie, dass f genau dann im Nullpunkt differenzierbar ist, wenn g in x = 0 stetig ist.

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/543943/stetigkeit-und-differenzierbarkeit-f-x-y-y-f-x-y

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Vom Duplikat:

Titel: differenzierbarkeit zeigen

Stichworte: differenzierbarkeit,stetigkeit,ableitung

Sei g: R → R, und sei f: R^2 → R gegeben durch f(x,y) := xg(y). Zeigen Sie, dass f genau dann im Punkt (0, 0)^T differenzierbar ist, wenn g in 0 stetig ist.

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Vom Duplikat:

Titel: f ist genau dann diffbar, wenn g stetig ist.

Stichworte: stetigkeit,analysis

Mir fehlt eine Richtung dieser Aufgabe:

Sei f: ℝ² → ℝ, und sei g: ℝ → ℝ gegeben durch f(x,y) := yg(x). Zeige, dass f genau dann im Punkt (0,0)^T diffbar ist, wenn g in 0 stetig ist.

Die Richtung "<=", also aus stetig folgt diffbar, habe ich schon gezeigt.

Jetzt fehlt mir nur noch "=>", also dass aus diffbar die Stetigkeit von g folgt. Dabei tu ich mich nur etwas schwer.

Answer 1

Eine Funktion ist im Nullpunkt genau dann differenzierbar, wenn man sie da im Kleinen linearisieren kann: $$(1)\quad f(h,k)-f(0,0)=ah+bk+r(h,k)\quad\text{mit $\,\,\,r(h,k)=o(\lVert(h,k)\rVert)$.}$$ Fuer \((a,b)\) kommt nur der Gradient im Nullpunkt infrage. Rechnen wir erst mal den richtig aus: Aus \(f(x,0)=0\) für alle \(x\) folgt \(f_x(0,0)=0\) und \(f_y(0,0)=g(0)\) ist klar. Einsetzten in (1) ergibt $$(2)\quad g(h)k=g(0)k+r(h,k).$$ Loese (2) nach \(r(h,k)\) auf und zeige, dass das genau dann in \(o(\lVert(h,k)\rVert)\) liegt, wenn \(g\) in \(0\) stetig ist.

Comments

Also nochmal:

Du schreibst die Zerlegung der Funktion gemäß der Definition hin:

$$ f(x,y)= f(0,0) + A (x,y)-(0,0))+ r((x,y) ||(x,y))-(0,0))||,$$

wobei der Rest folgende Eigenschaften haben muss: $$ r((0,0))=0 $$und $$ r in (0,0) stetig$$

D.h dann $$ f(x.y)= A +  r((0,0)) ||(x,y)|| $$

D.h bei dir in (1) hat dann meine Matrix A die Einträge a und b, d.h dann:

$$ g(x)y =g(0)y+ r((0,0)) ||(x,y)|| $$

Wie kann ich hier etwas mit dem Rest machen?

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Ich wuerde lieber bei meiner Schreibweise bleiben. Deine sieht kaputt aus.

Es ist \(r(h,k)=(g(h)-g(0))k\), und Du musst noch zeigen: $$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(g(h)-g(0))k}{\lVert(h,k)\rVert}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{$g$ ist in $0$ stetig}.$$ Die Rechnung wird recht bequem, wenn man für \((h,k)\) Polarkoordinaten nimmt.

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D.h dann ist h=r cos a

k=r sin a

Dann ist $$ lim_{r \rightarrow \infty} (g(r cos a) -g(0)) sin a$$

Wie folgt daraus die Stetigkeit?

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Aus einem hingeklatschen Ausdruck (noch dazu mit falschem Grenzuebergang) wird schwerlich etwas folgen.

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Also nochmal $$ ||(x,y)|| = \sqrt{ r^2 (cos^2 a + sin^2 a)}= r $$

Bei limes habe ich mich verschrieben. Dieser muss gegen 0 gehen:

Also dann $$  \lim_{r \rightarrow 0} \frac{(g(r cos (a))-g(0)) r sin(a) }{r} $$

D.h dann $$    sin a \lim_{r \rightarrow 0}  g(r cos a)-g(0) $$

D.h im Fall der Stetigkeit von  ist erlaubt, dass gilt $$     g( \lim_{r \rightarrow 0} r cos a)=g(0)   $$

Passt das so?

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Stimmt das vielleicht so?

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Das ist unvollstaendig bis wirr.

Also dann $$  \lim_{r \rightarrow 0} \frac{(g(r cos (a))-g(0)) r sin(a) }{r} $$

D.h dann $$    sin a \lim_{r \rightarrow 0}  g(r cos a)-g(0) $$

Was soll das werden? Du knallst da zwei Audruecke hin und tust so, als waeren das Aussagen.

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Ich habe doch in Polarkoordianten transformiert. Dann das eingesetzt und ausgerechnet. Damit dann die letzte Gleichung gleich 0 ist, muss g stetig sein?

Answer 2

Die partielle Abl. nach y ist g(x) !

Comments

Aso, d.h dann das wenn f diffbar ist, dann muss g stetig sein. Und das gilt dann auch im Nullpunkt. Reicht das schon?

Wie kann man die andere Richtung machen?

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Nein, das heißt:

Wenn f im 0-Punkt diffb. ist, dann existieren die partiellen

Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig.

Weil g(x) eine partielle Abl. ist, ist g in 0 stetig.

Für die andere Richtung habe ich auch grad keine Idee.

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Ach ja stimmt.

Vllt fällt dir ja noch was ein?

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Hat jemand noch eine Idee?

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Wenn f im 0-Punkt diffb. ist, dann existieren die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig.

Voellig falsch.

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Warum ist das denn für die Hinrichtung, das f diffbar ist falsch?
Wenn f im 0-Punkt diffb. ist, dann existieren die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig.

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Aus der Differenzierbarkeit folgt die Existenz der partiellen Ableitungen, aber nicht deren Stetigkeit. Das ist nun mal die Faktenlage.

Und umgekehrt kannst Du nicht darauf schliessen, dass \(f_x\) im Nullpunkt stetig ist, weil \(g\) nicht viel hergibt. \(f_x\) existiert i.Allg. nicht mal in einer vollen Umgebung des Nullpunkts.

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Aso gut:)

Wenn jetzt g stetig in 0 ist, wie zeige ich dann, dass f diffbar ist?

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Das steht in dem anderen Thread. Du musst es nur noch vernuenftig aufschreiben.

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Aber dann fehlt doch eine Richtung?

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Wenn Du eine Richtung noch nicht ausgearbeitet hast, dann fehlt sie in der Tat. Die Formel $$\frac{r(h,k)}{\lVert(h,k)\rVert}=[g(r\cos\alpha)-g(0)]\sin\alpha$$ hilft für beide Richtungen

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Jetzt habe ich alles zusammen. Vielen Dank:)