Einfache Zusammenfassung dieses Terms: 1/4 [(R+(d/2)^4–(R–(d/2)^4]

Question

Ich soll dieses Integral berechnen:

\( \int \limits_{R-(d 2)}^{R+(d / 2)} r^{3} d r=\frac{1}{4}\left[\left(R+(d / 2))^{4}-\left(R-(d / 2))^{4}\right]\right.\right. \)

Das Integrieren ist kein Problem. Ich würde gerne wissen, wie ich diesen Ausdruck nun effizient vereinfachen kann.

Answer 1

(1/4·(r + d/2)^4) - (1/4·(r - d/2)^4)

= (1/4·(d^4/16 + d^3·r/2 + 3·d^2·r^2/2 + 2·d·r^3 + r^4)) - (1/4·(d^4/16 - d^3·r/2 + 3·d^2·r^2/2 - 2·d·r^3 + r^4))

= (d^4/64 + d^3·r/8 + 3·d^2·r^2/8 + d·r^3/2 + r^4/4) - (d^4/64 - d^3·r/8 + 3·d^2·r^2/8 - d·r^3/2 + r^4/4)

= d^3·r/4 + d·r^3

= d·r·(d^2 + 4·r^2)/4

Also einfach binomischer Lehrsatz?

Ja. Man kann auch vorher 1/4 schon ausklammern.