Beweise das für eine beschränkte Menge in den reellen Zahlen, die Teilmenge im Betrag ebenfalls beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Beweise: Für eine Menge A ⊂ R gilt die Äquivalenz:

A ist beschränkt ⇐⇒ {|a| : a ∈ A} ist beschränkt

Problem/Ansatz:

Wenn man voraussetzt, dass A beschränkt ist, müsste man zeigen, dass |a| ebenfalls beschränkt ist, also ein Maximum und Infimum besitzt.
Ich würde verstehen, wie ich es mit einer konkreten Menge beweise, jedoch verstehe ich nicht, wie ich das so allgemein beweisen soll.

Answer 1

A ist beschränkt

<=>  A besitzt eine obere Schranke S und eine untere Schranke T.

Sei M = max{ |S| , |T| } dann sind -M und M auch untere bzw. obere

Schranke für A. Also gilt für alle x∈A   -M ≤ x ≤ M.

==>   0 ≤|x| ≤ M .  Also {|a| : a ∈ A} ist beschränkt.

Ist umgekehrt  B:= {|a| : a ∈ A}  beschränkt

Dann gibt es eine obere Schranke S und eine untere Schranke T.

==>   Für alle a ∈ A gilt  T ≤ |a| ≤ S

==>    Für alle a ∈ A gilt -S  ≤ a ≤ S, also ist A beschränkt.