Für a) ergibt sich unter Verwendung fundementaler modular arithmetischer Regeln
\(\begin{aligned} 10^{i} \equiv{ }_{11} R_{11}\left(10^{i}\right)=R_{11}\left(R_{11}(10)^{i}\right)=R_{11}\left((-1)^{i}\right) \equiv_{11}(-1)^{i} .\end{aligned} \)
Für die b) schreiben wir irgendeine Zahl \( x \), welche wir auf Teilbarkeit durch 11 prüfen wollen, in ihrer dezimal Expansion, also
\(\begin{aligned} x=\sum \limits_{i=0}^{n} d_{i} 10^{i}, \quad d_{i} \in\{0,1, \ldots, 9\}\end{aligned} \)
Nun ergibt sich also
\( \begin{aligned} R_{11}(x) &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} d_{i} 10^{i}\right) \\ &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} R_{11}\left(d_{i} 10^{i}\right)\right) \\ &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} R_{11}\left(d_{i}\right) \cdot R_{11}\left(10^{i}\right)\right) \\ &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i} d_{i}\right) \end{aligned} \)
Nun haben wir also eine Regel gefunden, denn
\(\begin{aligned} R_{11}(x) \equiv_{11} 0 \Longleftrightarrow R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i} d_{i}\right)=0\end{aligned} \)
und somit ist eine Zahl \( x \) durch 11 teilbar, wenn die alternierende Summe ihrer Koeffizienten in dezimaler Darstellung durch 11 teilbar ist.
Beispiel: Für \( x=1250502 \) haben wir \( 1-2+5-0+5-0+2=11 \) was durch 11 teilbar ist, somit ist \( x \) durch 11 teilbar.
Hinweis: \(R_{11}(x)\) bezeichnet hier die Restfunktion, welche uns den Repräsentanten von \(x\) der modularen Äquivalenzklasse in \(\{0, 1, \ldots, 10\}\) gibt, also einfach den Rest.
