Begründe, dass 10i \equiv(-1)i(\bmod (11)) .

Question

Aufgabe:

12. Noch eine Teilbarkeitsregel - die Teilbarkeit durch 11:
(a) Begründe, dass $10^{i} \equiv(-1)^{i}(\bmod (11))$.
(b) Benutze (a), um eine Teilbarkeitsregel durch 11 über die Ziffern zu begründen.

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie man das rechnet, ich hab leider überhaupt keinen Tau.

Comments

Teil (a) vielleicht mit Induktion: Die Aussage gilt sicher für $i=0$. Wenn die Aussage für ein $i\ge0$ gilt, dann gilt auch
$10^{i+1}=10\cdot10^i\equiv(-1)\cdot(-1)^i\equiv(-1)^{i+1}\bmod 11$.

Answer 1

Für a) ergibt sich unter Verwendung fundementaler modular arithmetischer Regeln
$\begin{aligned} 10^{i} \equiv{ }_{11} R_{11}\left(10^{i}\right)=R_{11}\left(R_{11}(10)^{i}\right)=R_{11}\left((-1)^{i}\right) \equiv_{11}(-1)^{i} .\end{aligned}$
Für die b) schreiben wir irgendeine Zahl $x$, welche wir auf Teilbarkeit durch 11 prüfen wollen, in ihrer dezimal Expansion, also
$\begin{aligned} x=\sum \limits_{i=0}^{n} d_{i} 10^{i}, \quad d_{i} \in\{0,1, \ldots, 9\}\end{aligned}$
Nun ergibt sich also
$\begin{aligned} R_{11}(x) &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} d_{i} 10^{i}\right) \\ &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} R_{11}\left(d_{i} 10^{i}\right)\right) \\ &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n} R_{11}\left(d_{i}\right) \cdot R_{11}\left(10^{i}\right)\right) \\ &=R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i} d_{i}\right) \end{aligned}$
Nun haben wir also eine Regel gefunden, denn
$\begin{aligned} R_{11}(x) \equiv_{11} 0 \Longleftrightarrow R_{11}\left(\sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i} d_{i}\right)=0\end{aligned}$
und somit ist eine Zahl $x$ durch 11 teilbar, wenn die alternierende Summe ihrer Koeffizienten in dezimaler Darstellung durch 11 teilbar ist.

Beispiel: Für $x=1250502$ haben wir $1-2+5-0+5-0+2=11$ was durch 11 teilbar ist, somit ist $x$ durch 11 teilbar.

Hinweis: $R_{11}(x)$ bezeichnet hier die Restfunktion, welche uns den Repräsentanten von $x$ der modularen Äquivalenzklasse in $\{0, 1, \ldots, 10\}$ gibt, also einfach den Rest.