Wachstumsprozesse e Funktion

Question

Einem Patienten wird vor einer langwierigen Operation ein Medikament für die Vollnarkose injiziert, dass mit einer Halbwertszeit von 50 Minuten abgebaut wird.

A) Patient erhält 30 Minuten vor Operation 5mg dieses Medikaments. Welche Menge ist bei Operationsbeginn noch vorhanden

5*0.5^30/50= 3,29mg.

B) 1h nach der Injektion erhält Patient eine 2. Dosis von 5mg. Patient beginnt aufzuwachen, wenn höchstens 1mg dieses Medikaments im Körper vorhanden ist. Wann ist das der Fall?

Der Ansatz von letzter Stunde lautete:

5*0,5*[x+60]/50 +5*0.5^x/50=1

x=142,2 min

Kann jemand mir die einzelnen Schritte von b) erklären? Dankeschön

Kann jemand mir die einzelnen Schritte für das Ergebnis von B) erklären?

Answer 1

Halbwertszeit von 50 Minuten abgebaut wird.
A) Patient erhält 30 Minuten vor Operation 5mg dieses Medikaments.

Die Variable \(t\) bezeichne die Minuten seit der ersten Injektion.

Dann lautet die Funktiongleichung für die Menge \(f_1(t)\) des Medikaments im Blut zum Zeitpunkt \(t\)

        \(f_1(t) = 5\cdot 0,5^{\frac{t}{50}}\).

1h nach der Injektion erhält Patient eine 2. Dosis von 5mg.

Die Funktion \(f_1\) wird um 60 Minuten nach rechts verschoben:

        \(f_2(t) = f_1(t-60) = 5\cdot 0,5^{\frac{t-60}{50}}\)

und zu \(f_1\) addiert:

  \(f_\text{ges}(t) = f_1(t) + f_2(t) = 5\cdot 0,5^{\frac{t}{50}} + 5\cdot 0,5^{\frac{t-60}{50}}\)

wenn höchstens 1mg dieses Medikaments im Körper vorhanden ist.

Dann ist \(f_\text{ges}(t) = 1\) und somit

        \(5\cdot 0,5^{\frac{t}{50}} + 5\cdot 0,5^{\frac{t-60}{50}} = 1\).

5*0,5*[x+60]/50 +5*0.5^x/50=1

Eigentlich müsste es

        5·0,5^[x+60]/50 + 5·0.5^x/50 = 1

lauten. Die Gleichung bekommst du aus meiner indem du \(t\) durch \(x+60\) ersetzt. Das \(x\) bedeutet dann die Minuten seit der zweiten Injektion.

Comments

Vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen