Zeigen Sie, dass U := {p ∈ V : p(−1) = 0 = p(1)} ein Untervektorraum von V ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der R-Vektorraum V = P2(R).

(a) Zeigen Sie, dass U := {p ∈ V : p(−1) = 0 = p(1)} ein Untervektorraum von V ist.
(b) Bestimmen Sie eine Basis von U.
(c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis von V .

Problem/Ansatz

Kann mir jemand hier helfen ? :(

Answer 1

Da \(1\) und \(-1\) Nullstellen der Polynome in \(U\) sind und

\(V\) nur Polynome höchstens vom Grad 2 enthält,

gilt \(U=\{a(x+1)(x-1): \; a\in R\}=Span(x^2-1)\).

Als Span ist \(U\) automatisch ein Unterraum.

Da dieser von dem einen Vektor \(x^2-1\) erzeugt wird,

ist \(\{x^2-1\}\) eine Basis von \(U\).

\(\{1,\; x,\; x^2-1\}\) ist dann eine Basis von \(V\)

der geforderten Art.