Für welche Vektoren a⃗∈V ist die Menge a⃗ + U = {a⃗ + u⃗ | u⃗ ∈ U} wieder ein Untervektorraum von V?

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und und U ⊂ V ein Untervektorraum.
Fur welche Vektoren \( \vec{a} \) ∈ V ist die Menge \( \vec{a} \) + U = {\( \vec{a} \) + \( \vec{u} \) | \( \vec{u} \) ∈ U} wieder
ein Untervektorraum von V ?

Answer 1

Ist X ein Unterraum von V, so ist U auch wieder ein Vektorraum, d.h. du musst prüfen für welche a die Menge a+U wieder ein Vektorraum ist.

Für die einzelnen Bedingungen gilt:

$$\text{Seien } u,v \in U \text{ beliebig}, \lambda \in \mathbb{R}$$

$$ \text{1.) } 0 \in a+U \Leftrightarrow a+u = 0 \Leftrightarrow a = -u \Rightarrow a \in U $$

$$ \text{2.) } (a+u) + (a+v) \in a+U \Leftrightarrow  a \in U \text{ oder } a = 0 \text{ eigentlich in der ersten Bedingung enthalten} $$

$$ \text{3.) } \lambda (a + u) \in a+U  \Leftrightarrow  a \in U \text{ oder } a = 0$$

Also muss a in U liegen. Stelle dir eine Gerade durch den Ursprung als Unterraum der Ebene (Dimension 1, bzw. 2) vor. Alle anderen möglichen Unterräume sind wieder Ursprungsgeraden (oder die Ebene, aber du kannst mit einer Addition die Dimension nicht erhöhen), und du kannst per Addition nur wieder die gleiche Ursprungsgerade erhalten.