Welche PFT-Konzentration wird sich in dem Modell auf lange Sicht einstellen?

Question

Aufgabe:

Nach einem Brand in einer Chemiefabrik steigt die Konzentration von perfluorierten Tensiden (PFT) in einem nahe gelegenen See deutlich an. Durch den Zu- und Ablauf von Wasser verringert sich die PFT-Konzentration im See wieder. Die PFT-Konzentration im See kann in den ersten Wochen mithilfe der Funktion k(x)=250x×e^-0.5x+20 modelliert werden.

d) Welche PFT-Konzentration wird sich in dem Modell auf lange Sicht einstellen?

Comments

Meinst Du das was Du geschrieben hast, oder meinst Du 250x×e^(-0.5x)+20 oder meinst du 250x×e^(-0.5x+20) ?

Answer 1

Aloha :)

Die Konzentration der Tenside wird beschrieben durch die Funktion:$$k(x)=250\cdot e^{-0,5x}+20$$

Beachte, dass ein Faktor über den Bruchstrich springt, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt. Daher ist:$$e^{-0,5x}=\frac{e^{-0,5x}}{1}\stackrel{(\text{Sprung})}{=}\frac{1}{e^{0,5x}}$$und wir können die Funktion zur Beschreibung der Tenside umschreiben:$$k(x)=\frac{250}{e^{0,5x}}+20$$

Auf lange Sicht, also für \(x\to\infty\), wächst \(e^{0,5x}\) ins Unendliche. Die \(250\) werden durch eine immer größere Zahl geteilt, sodass der Beitrag des Bruches verschwindet. Insgesamt gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}k(x)=20$$Auf lange Sicht bleibt das Wasser also mit 20 Konzentrationseinheiten der Tenside belastet.

Answer 2

Berechne lim k(x) für x -> oo!