Wie wurde der komplexwertige Ausdruck umgeformt?

Question

Aufgabe:

Wie wurde hier umgeformt? Verstehe vor allem nicht wie der letzte Ausdruck zustande kommt

\( \begin{aligned} e^{\lambda_{1} x} \boldsymbol{v}_{1} &=e^{(2+i) x}\left(\begin{array}{c}1 \\ i\end{array}\right)=e^{2 x}(\cos x+i \sin x)\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\right) \\ &=e^{2 x}\left(\begin{array}{r}\cos x \\ -\sin x\end{array}\right)+i e^{2 x}\left(\begin{array}{c}\sin x \\ \cos x\end{array}\right) \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie der zweite Summand vom letzten Ausdruck dazukommt

Answer 1

Das Produkt \((\cos x+i \sin x)\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+i\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\right)\)

wird nach Distributivgesetz ausmultipliziert. Zwei der 4 gebildeten Teilprodukte enthalten den Faktor i und bilden den Imaginärteil des Produkts. Die übrigen 2 Produkte enthalten keinen Faktor i odert i²(=-1) und bilden den Realteil des Produkts.

Comments

Wie multiplizierst du das aus? Komme da auf jeden Fall nicht auf den letzten Ausdruck. Wäre sehr nett, wenn du die Zwischenschritte aufschreiben könntest.

EDIT: Denke ich habe es verstanden. Rechne es nochmal aus und melde mich dann