Für welche Werte von x sind die folgende Funktionen stetig? f(x)= log(x) /(x-3)

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von x sind die folgenden Funktionen stetig?

1) 1/ (√x log(x)) + x^{2}/(2-x)

2)  (log (x)) / (x-3)

3) 2 log(x+1) - 1/(√(x-2)

Wie muss ich hier vorgehen? Muss ich zuerst null setzen?

Answer 1

f (x)= log (x) /( x-3)

g(x) = log (x) ist stetig für x>0

(x-3) im Nenner darf nicht 0 sein. D.h. x≠3. Überall sonst ist h(x) = 1/(x-3) stetig.

f(x) = g(x) * h(x) ist überall stetig, wo beide Faktoren stetig sind.

Daher ist f(x) stetig in D = {x| 0<x<3 oder 3<x<∞}

Die andern beiden Funktionen sind leider nicht eindeutig lesbar. Aber du kannst ähnlich argumentieren wie eben bei (ii).

bei 3 ist das so: das ganze (  2log (x+1)- 1 ) geteilt durch wurzel aus x-2

f(x) = (  2log (x+1)- 1 )/√( x-2)

Nenner: Unter der Wurzel muss eine pos. Zahl stehen. Daher: x>2.

Zähler: Im log muss eine positive Zahl stehen: x>-1

Zusammen gilt. f(x) ist stetig im Bereich D = {x| x>2}

Comments

bei eins ist das soo : 1 geteilt durch Wurzel aus x log (X) + x^{2,    und dann das genaze getilt durch  2-x}

bei 3 ist das so: das ganze (  2log (x+1)- 1 ) geteilt durch wurzel aus x-2

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(1 /√( x log (x) + x^2) ) /(2-x)

= 1/ (√( x log (x) + x^2) )*(2-x))

Im Nenner darf nicht Null stehen. Daher x≠2

log (x) ist nur definiert, wenn x>0.

Unter der Wurzel im Nenner muss eine Positive Zahl stehen: 

x log(x) + x^2 > 0

x(logx + x) > 0

x ist schon grösser als 0: vgl. oben.

Nun muss zusätzlich noch gelten:

log x + x > 0

Das lässt sich nur numerisch lösen und ergibt, falls log der natürlich Logarithmus ist,

x> 0.561743

Beim dekadischen Logarithmus ergäbe sich: x> 0.399013

Definiert und stetig ist die Funktion im Bereich D = {x| 0.399013 (oder halt: 0.561743) < x<2 oder x> 2}

 

bei 3 ist das so: das ganze (  2log (x+1)- 1 ) geteilt durch wurzel aus x-2