Verknüpfungen von stetigen Funktionen sind wieder stetig

Question

Beziehen sich die rechenregeln für stetige Funktionen nur für Stetigkeit in einem Punkt oder für ''komplette'' Stetigkeit.

Wenn ich jetzt z. B. eine Funktion habe, die stetig ist (nicht nur in einem Punkt sondern komplett) und eine andere stetige Funktion, kann ich dann sagen dass das Produkt davon stetig ist?

Answer 1

Ja. Das bezieht sich auf die ganze Funktion. Also die Summe, Differenz oder auch das Produkt zweier stetiger Funktionen ist wieder eine stetige Funktion.

Comments

kannst du auch den beweis zeigen?

dankeschön :)

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Ja. Schau mal unter http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=146545

Wie im Falle aller bilinearen Abbildungen ist der Trick immer, eine nahrhafte Null einzuführen:

\( | f(x)g(x) - f(x_0) g(x_0) | = | f(x)g(x) - f(x) g(x_0) + f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0) | \).

Jetzt Dreiecksungleichung, Stetigkeit und lokale Beschränktheit von f und g benutzen.