Aufgabe:
Warum wurde nur das Taylorpolynom zweiten Grades für sin(x-y) gerechnet aber nicht für den restlichen Ausdruck? Wie erkennt man, dass der restliche Ausdruck bereits exakt wiedergegeben wurde ohne nachzurechnen?
a) Bestimmen Sie eine Näherung für ein lokales Minimum der Funktion
\( \begin{aligned} f &:\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right] \times\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right] \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x, y) &=4 x^{2}+x y+4 y^{2}+\sin (x-y), \end{aligned} \)
indem Sie ein Minimum \( \left(\begin{array}{l}\tilde{x} \\ \tilde{y}\end{array}\right) \) des Taylorpolynoms zweiten Grades \( T_{2} \) von \( f \) mit dem Entwicklungspunkt \( (0,0)^{\mathrm{T}} \) berechnen.
Tipp: verwenden Sie die Sinus-Reihe.
Lösung
a) Das Taylorpolynom zweiten Grades gibt die polynomialen Teile bis zum Grad 2 exakt wieder. Für den Sinusterm liest man das Taylorpolynom zweiten Grades aus der Reihenentwicklung
\( \sin (x-y)=(x-y)-\frac{(x-y)^{3}}{3 !}+\frac{(x-y)^{5}}{5 !} \mp \cdots \)
ab und erhält für \( f \)
\( T_{2}(x, y)=4 x^{2}+x y+4 y^{2}+(x-y) \)
Problem/Ansatz:
Wie erkennt man, dass man nur das Taylorpolynom zweiten Grades von sin(x-y) benötigt und nicht von dem restlichen Ausdruck?
