Verständnisfrage: Für welche Zahlen z ∈ ℂ gilt ΙzΙ = ΙRe(z)Ι + ΙIm(z)Ι

Question

Aufgabe:

Für welche Zahlen z ∈ ℂ gilt ΙzΙ = ΙRe(z)Ι + ΙIm(z)Ι

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz. Die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen helfen mir nicht weiter.
In der Musterlösung lautet das Ergebnis: z = x+yi für x=0 oder y=0 und ich habe keine Idee, wie man darauf kommt.

Answer 1

In welchen rechtwinkligen Dreiecken, und hier seien die entarteten Dreiecke mit eingeschlossen, ist die Hypotenuse genauso lang wie die Summe der beiden Katheten.

Du solltest es dir evtl. auch grafisch überlegen indem du ein paar komplexe Zahlen mit real und imaginäranteil einzeichnest.

Comments

Nehmen wir mal ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c.

Dann gilt nach Pythagoras

a^2 + b^2 = c^2

Nun soll aber auch gelten

a + b = c bzw. (a + b)^2 = c^2

Wir setzen mal gleich

a^2 + b^2 = (a + b)^2
a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
0 = 2ab

Daraus folgt jetzt a = 0 oder b = 0. Also entweder ist der Realteil = 0 oder der Imaginärteil ist null.

Answer 2

Wenn z nur aus einem Realteil besteht, ist ΙzΙ = ΙRe(z)Ι + ΙIm(z)Ι. Das Gleiche gilt für Zahlen, die nur aus einem Imaginärteil bestehen.

Answer 3

Du musst sehen, dass eine beliebige komplexe Zahl z = x+iy ist, wobei x und y reell sind. Zudem ist Re(z)=x und Im(z)=y. Das heißt, nach der Gleichung gilt:

Ix+iyI=IxI + IyI

Da musst du entsprechend alle reellen x und y finden, damit diese Gleichung gilt.
Sie gilt zum einen für x=0 und y beliebig, denn dann ist bei der Gleichung:

I0+iyI = IiyI = IiI * IyI = 1* IyI = IyI = I0I + IyI
(rechte Gleichung mit x=0)
wenn jedoch y=0 und x beliebig, dann

Ix+0iI=Ix+0I = IxI = IxI + I0I
(rechte Gleichung mit y=0)

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