Ich mach mal eine Richtung, vielleicht kommst du dann von alleine auf den Rest :)
Sei \(|z|=1\). Dann gilt auch \(1=|z|^2 = z \bar{z} \). Es folgt
$$ \left| \frac{ z-a }{ 1-\bar{a} z } \right| = \left| \frac{ z-a }{ z\bar{z} - \bar{a} z } \right| = \left| \frac{ z-a }{ z(\bar{z} - \bar{a}) } \right| = \left| \frac{1}{z} \right| \left| \frac{ z-a }{ \overline{z-a} } \right| = 1.$$
Im dritten Schritt wurde der Bruch in das Produkt zweier Brüche geteilt und die Rechenregeln für Beträge angewandt. Zusätzlich wurden in diesem Schritt die Rechengesetze der komplexen Konjugation verwendet. Im letzten Schritt wurde genutzt, dass \(|z|=1\) und für jede komplexe Zahl \(|z| = |\bar{z}|\) ist.