Seien a,z ∈ ℂ mit |a|<1. Zeigen Sie: ... Für welche z gilt die Gleichung. (Komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

Seien a,z ∈ ℂ mit |a|<1. Zeigen Sie:

\( \frac { |z-a| }{ |1-\overline { a } z| } \quad =\quad 1\quad \Leftrightarrow \quad \left| z \right| =1\\ \\ \left| \frac { z-a }{ 1-\overline { a } z }  \right| \quad <\quad 1\quad \Leftrightarrow \quad \left| z \right| <1 \)

Answer 1

Ich mach mal eine Richtung, vielleicht kommst du dann von alleine auf den Rest :)

Sei \(|z|=1\). Dann gilt auch \(1=|z|^2 = z \bar{z} \). Es folgt

$$ \left| \frac{ z-a }{ 1-\bar{a} z } \right|  =  \left| \frac{ z-a }{ z\bar{z} - \bar{a} z } \right|  =  \left| \frac{ z-a }{ z(\bar{z} - \bar{a}) } \right| = \left| \frac{1}{z} \right| \left| \frac{ z-a }{ \overline{z-a} } \right| = 1.$$

Im dritten Schritt wurde der Bruch in das Produkt zweier Brüche geteilt und die Rechenregeln für Beträge angewandt. Zusätzlich wurden in diesem Schritt die Rechengesetze der komplexen Konjugation verwendet. Im letzten Schritt wurde genutzt, dass \(|z|=1\) und für jede komplexe Zahl \(|z| = |\bar{z}|\) ist.

Comments

Ahh die 1 als Betrag von z Quadrat darstellen. Daran habe ich nicht gedacht.

Danke.

Bei der Rückrichtung habe ich leider trotzdem noch meine Probleme.

Was kann ich da bei der umformung machen,das ist ja das woran ich mich zuert versucht habe.

Kann ich das irgendwie erweitern? Weil die 1 bekomme ich ja sonst nicht raus aus dem Bruch.

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$$ 1 = \left|  \frac{z-a}{1-\bar{a}z} \right| \quad \Rightarrow \quad 1 = \left|  \frac{z-a}{1-\bar{a}z} \right|^2  =  \frac{ | z-a |^2 }{| 1-\bar{a}z |^2 }  =  \ \frac{(z-a)(\bar{z} - \bar{a}) }{(1-\bar{a}z) (1-a\bar{z} )} $$

Im letzten Schritt habe ich wieder \( |z|^2 = z\bar{z} \) und \(\overline{z-a} = \bar{z} - \bar{a} \) sowie \( \overline{1-\bar{a}z}  =  1-a\bar{z}\) ausgenutzt. Jetzt kannst du weiter ausmultiplizieren und umformen.