Wie kann ich beweisen, dass das Dreieck mit P1(2/5/7) P2 (5/-1/4) P3 (4/2/6) ein gleichschenkliges Dreieck ist?

Question

Aufgabe: Gleichschenkliges Dreieck überprüfen

Wie kann ich beweisen, dass das Dreieck mit P1(2/5/7) P2 (5/-1/4) P3 (4/2/6) ein gleichschenkliges Dreieck ist?

Problem/Ansatz:

… Ich weiß was ein gleichschenkliges Dreieck ist, nur ich habe keine Ahnung wie ich das hier berechnen kann.

Danke

Answer 1

Aloha :)

Du kannst z.B. die Längen der Seiten berechnen:

$$\overline{P_1P_2}=\left\|\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\7\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3\\-6\\-3\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{54}$$$$\overline{P_1P_3}=\left\|\begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\7\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{14}$$$$\overline{P_2P_3}=\left\|\begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{14}$$

Das Dreieck hat also zwei gleich lange Schenkel und ist daher gleichschenklig.

Answer 2

Rechne alle drei Seitenlängen aus und schau, ob sie alle gleich sind.

z.B. |P1P2|=√( (2-5)^2 +(5-(-1))^2 +(7-4)^2 )

                =  √( 9 + 36 + 9 ) = √54

Wenn die anderen beiden auch die Länge √54

haben, ist es gleichseitig. Wenn nur zwei gleichlang sind

eben nur gleichschenklig.