Wahrscheinlichkeiten berechnen: Urnenproblem

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich rote, blaue und weiße Kugeln. Der Anteil der roten Kugeln in der Urne beträgt 30%, der Anteil der blauen Kugeln liegt bei 25%.

a) Es werden 100 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: Es werden mehr als 30 rote Kugeln gezogen.

B: Die ersten beiden gezogenen Kugeln sind weiß.

C: Es werden mehr als 50, aber weniger als 60 nicht weiße Kugeln gezogen.

b) Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Ermitteln Sie, wie groß n mindestens gewählt werden muss, damit mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens eine blaue Kugel unter denn Kugeln ist.

c) Begründen Sie, dass sich in der Urne 40, nicht aber 50 Kugeln befinden können.

Problem/Ansatz:

Wir sollen uns Binomialverteilung usw. selbst beibringen. Verstehe das aber nicht ganz, welche Formeln man verwenden muss und wie man die Aufgabe rechnet.

Answer 1

p(rot) = 0,3, p(b) = 0,25, p(w) = 0,45

a) P(X>30) = 1-P(X<=30) , Tabellenwerk oder Programm:

P=0,4509

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

b) 0,3^2

c) p= 1-0,3 = 0,7

P(50<X<60) = P(X<=59)-P(X<=51)

0,012498407166 -0,000051859472

b) P(>=1)= 1-P(X=0) >=0,95

1- 0,75^n >=0,95

n>= 59

Answer 2

Das ist prinzipiell eine schlechte Aufgabe. Wenn in der Urne extrem viel Mehr als 100 Kugeln sind, dann könnte man es durch die Binomialverteilung nähern. Davon sollst du hier wohl auch ausgehen. Das heißt, du ziehst entweder mit Zurücklegen oder aus einer unendlich großen Menge.