Aufgabe mit Polynomdivision

Question

Nullstelle mithilfe der Polynomdivision und PQ-Formel berechnen

Gegeben:

f(x) = (x-5)³-x²+31

Die Klammer auflösen, ergibt:

x³-15x²+75x-125

Das noch mit den restlichen Werten von f(x) zusammenfassen, ergibt:

x³-16x²+75x-94

Polynomdivision anwenden:

Zahl "erraten", um 0 raus zu bekommen: 2

Habe die Polynomd. angewendet aber ich kam auf einen Restbetrag drauf. Der TR sagt leider was anderes :(

Könnte mir jemand helfen?

Dankeschön im Voraus!

Answer 1

Polynomdivision schaut wie folgt aus

Comments

Achsooo, ich habe das genauso gemacht, aber die -94 erst im nächsten Schritt runtergeholt. Warum muss man das so machen? In einem Video wurde es viel kleinschrittiger gemacht...

---

Die -94 musst du auch erst im zweiten Schritt herunter holen. Sodass du dort aber trotzdem 47x - 94 bekommst.

Answer 2

Ergänzende Frage

Titel: Wie bestimme ich hier die erste Nullstelle?

Stichworte: nullstellenberechnung

Gegeben:

f(x) = (x-5)³-x²+31

Frage:

Wie komme ich auf die NS von X_0/1= 2

Also die NS von X_0/2= 5,59 und X_0/3= 8,41 bin ich drauf gekommen (Polynomdivision).

Aber die erste NS fällt mir irgendwie schwer.

Dankeschön im Voraus!

Comments

Du hast ja schon die Klammern aufgelöst. Das macht vermutlich zu viel Arbeit, denn jetzt musst du theoretisch mit allen Teilern von 94 jeweils ± probieren.

Allenfalls bequemer: Folgendes "von unten" rechnen.

Die Kubikzahl und die Quadratzahl dürfen sich nicht zu stark unterscheiden, damit es Null gibt. Der Abstand ist ja nur 31.

Daher gilt: (x-5) und x sollten eher relativ nahe bei 0 sein.

f(x) = (x-5)³-x²+31

1,8,27,64,125 usw. Kubikzahlen,

1,4,9,16,25 usw. Quadratzahlen.

Differenz ungerade nämlich 31.

Z.B. "sieht man" 4 + 27 = 31

Dann noch an ± denken

Also 2² + 3³ = 31

0 = -27 - 4 + 31

0 = (-3)³ - 2² + 31

0 = (2-5)³ - 2² + 31

Answer 3

Da kann man wohl nur geschickt raten:

Da ist ja was mit hoch 3 und dann noch x² ,

das muss zusammen -31 geben.

-27 = (-3)³ und mit x=2 gibt -x² eben -4

und glücklicher Weise gibt ja 2-5 genau die -3.

Comments

Was bedeutet denn "2-5"?

---

Um (x-5)³ auszurechnen, erst mal 2-5 bestimmen.

Answer 4

x³-16x²+75x-94

=x³-2x²-14x²+28x+47x-94

=(x-2)•(x²-14x+47)

:-)

Answer 5

(x³-16x²+75x-94):(x-2)= x² -14x+47
x³ -2x²
-------------

     -14x² + 75x - 94
     -14x² +28x
     ------------------------

                 47x - 94
                47x - 94
                 -------------
                             0

Comments

Vielen lieben Dank!!!

Answer 6

f(x) =$( x-5)^{3}$ -$x^{2}$ +31

$x^{3}$ -15$x^{2}$ +75x-125-$x^{2}$ +31=0

$x^{3}$ -16$x^{2}$ +75x-94=0

($x^{3}$ -16$x^{2}$ +75x-94):(x-2)=$x^{2}$-14x+47

-($x^{3}$-2$x^{2}$)

...............................

    -14$x^{2}$+75x

   -(-14$x^{2}$+28x)

...........................................

               47x-94

             -(47x-94)

........................................

                    0

Comments

Ahhhh, jetzt habe ich meinen Fehler gefunden: Ich habe statt "75-28" mit + gerechnet.

Vielen lieben Dank!!!

Answer 7

Aloha :)

Ich würde den Patienten zunächst ausrechnen:$$f(x)=(x-5)^3-x^2+31=(x^3-15x^2+75x-125)-x^2+31$$$$f(x)=x^3-16x^2+75x-94$$Alle ganzzahligen Nullstellen müssen Teiler der Zahl ohne $x$, also von $(-94)$ sein. Das sind $\pm1$, $\pm2$ und $\pm47$. Wir probieren kurz durch und werden bei $x=2$ fündig. Der Funktionsterm muss also den Linearfaktor $(x-2)$ enthalten:$$f(x)=(x-2)(x^2-14x+47)$$Die Nullstellen der quadratischen Gleichung folgen mit der pq-Formel:$$x_{1;2}=7\pm\sqrt{49-47}=7\pm\sqrt2$$

Wir haben also drei Nullstellen bei $2$ und bei $(7\pm\sqrt2)$.

Comments

Bis zum Vereinfachen bin ich noch mitgekommen, aber dann habe ich es wieder nicht verstanden :/

---

Das ist aber der entscheidende Schritt. Wenn du ein Polynom in Normalform hast, dann solltest du immer die Zahlen als Nullstellen probieren, die die Zahl ohne $x$ teilen. Die Zahl ohne $x$ ist die $(-94)$. Die hat nur 6 Teiler: $\pm1$, $\pm2$ und $\pm47$. Das sind die Top-Kandidaten für Nullstellen.

---

Achsooooo, jetzt ist es mir klarer geworden. Also nicht mit deiner Erklärung aber zusammen mit einem Video was ich mir davor angeschaut habe, habe ich es mir jetzt zusammen gepuzzelt haha.

Danke für deine Zeit!!! <3

Answer 8

Du musst es doch eh ausmultiplizieren wenn du später eine Polynomdivision machen möchtest. Also macht man das zunächst.

f(x) = x³ - 16·x² + 75·x - 94 = 0

94 = 2·47

Wenn es eine Ganzzahlige Nullstelle gibt, dann müssen das ja Teilen von 94 sein. 1. kann man eh ausschließen, da die Summe der Koeffizienten nicht 0 ist. Also probiert man zunächst 2 und findet die erste Nullstelle.

Unsere Lehrerin hatte früher gesagt das den Schülern zuliebe die erste Nullstelle meist im Bereich von -3 bis 3 versteckt ist :-)

Zur Not kann ein guter Taschenrechner dir auch die Nullstellen zu einer kubischen Gleichung anzeigen. Das kann man also nutzen, um das "raten" etwas zu beschleunigen. Weiterhin sieht man gleich, ob sich überhaupt raten lohnt oder ob es vielleicht keine ganzzahlige Nullstelle gibt.

Jetzt eine Polynomdivision machen. Das hatte ich aber in deiner ersten Frage bereits beantwortet.