Geben Sie die Stammfunktion von f an

Question

Text erkannt:

4 Geben Sie eine Stammfunktion zur Funktion f an.
a) $f(x)=e^{x}+2 x$
b) $f(x)=x^{2}-e^{x}$
c) $f(x)=0,5 e^{x}-2$
d) $f(x)=e^{x}+\frac{7}{x^{2}}$

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie das geht...

Answer 1

Aloha :)

Dein Leerer ist aber echt gemein, wenn er euch Aufgaben aufgibt, die ihr vorher nicht im Unterricht besprochen habt...

Wenn du eine Potenz $x^n$ ableitest, multiplizierst du mit dem Exponenten und verminderst danach den Exponenten um $1$. Beim Integrieren musst du das Gegenteil tun. Zuerst den Exponenten um eins erhöhen und danach durch den neuen Exponenten divdieren:$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\quad;\quad\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\text{const}$$

Das Integral der $e^x$-Funktion ist wieder die $e^x$-Funktion, weil umgekehrt die $e^x$-Funktion auch ihre eigene Ableitung ist.

Im Folgenden lasse ich die Integrationskonstante weg, weil du ja nur eine Stammfunktion angeben sollst:

$$\int\left(e^x+2x\right)\,dx=e^x+2\,\frac{x^2}{2}=e^x+x^2$$$$\int\left(x^2-e^x\right)\,dx=\frac{x^3}{3}-e^x$$$$\int\left(0,5e^x-2\right)\,dx=0,5e^x-2\,\frac{x^1}{1}=0,5e^x-2x$$$$\int\left(e^x+\frac{7}{x^2}\right)\,dx=\int\left(e^x+7x^{-2}\right)\,dx=e^x+7\,\frac{x^{-1}}{-1}=e^x-\frac7x$$

Answer 2

Könntest du eine Ableitung bilden? Kannst du daraus Rückschlüsse ziehen, welche Funktion du ableiten müsstest, damit die gegebenen Funktionen herauskommen?

a) F(x) = e^x + x²

b) F(x) = 1/3·x³ - e^x

c) F(x) = 0.5·e^x - 2·x

d) F(x) = e^x - 7/x