Geben Sie eine Stammfunktion von f an (Funktionsterm als Summe) f(x) = (x^2+2x) / x^4

Question

f(x) = (x²+2x) / x⁴

Eine Erklärung dazu wäre auch wirklich nett, danke :)

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Vom Duplikat:

Titel: Geben Sie eine Stammfunktion von f an.

Stichworte: stammfunktion,integralrechnung

Aufgabe:Ich soll den Funktionsterm als Summe schreiben. Meinen Ansatz habe ich aufgezeigt. Ich verstehe nicht wie man auf die 1/x^2 kommt und 2/x^3. Weil es ja ein x^4 in der Aufgabe hat. Bitte um Erklärung.

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Vgl. auch die Antwort(en) von 2016.

Answer 1

f(x) = (x²+2x) / x⁴ 

f(x) = x^2 / x^4 + 2x / x^4 = x^{-2} + 2x^{-3}

Ich nehme an, dass du f in dieser Form selbst integrieren kannst. 

Answer 2

f(x) = (x²+2x) / x⁴

Answer 3

f(x) = (x²+2x) / x⁴  | kürzen
f(x) = (x+2) / x³

f ( x ) = 1 / x^2 + 2 / x^3
Stammfunktion 1 / x^2 = - 1 / x
Stammfunktion 2 / x^3 = 2 * x^{-3} = 2 * x^{-2} / (-2) = -1 * x^{-2} = -1 / x^2

Zusammen
-1 / x - 1 / x^2

Answer 4

Deine Lösung erst mal kürzen gibt

= x^(-2) + 2x^(-3)

Stammfunktion ist

F(x) = - x^(-1)  + 2 * (-1/2) * x^(-2) =  - x^(-1)  -  x^(-2)

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Vielen Dank habs verstanden!

Answer 5

Das Geheimnis liegt in der Vereinfachung.

f(x) = (x^2 + 2·x)/x^4 = x^2/x^4 + 2·x/x^4 = 1/x^2 + 2/x^3

F(x) = - 1/x - 1/x^2

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Vielen Dank habs verstanden!

Answer 6

Teilbrüche bilden und kürzen!

(x^2+2x)/x^4 = x^2/x^4 + 2x/x^4

Answer 7

Aloha :)

Zunächst empfehle ich, die Funktion \(f\) etwas umzuformen.

$$f(x)=\frac{x^2+2x}{x^4}=\frac{x\cdot(x+2)}{x^4}=\frac{x+2}{x^3}=\frac{x}{x^3}+\frac{2}{x^3}=\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}=x^{-2}+2x^{-3}$$Jetzt kannst du eine Stammfunktion mit der Potenzregel sofort angeben:

$$F(x)=\frac{1}{-1}x^{-1}+\frac{2}{-2}x^{-2}=-x^{-1}-x^{-2}=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=-\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}=-\frac{x+1}{x^2}$$Beachte, dass du zu der Stammfunktion noch eine beliebige Konstante \(const.\) addieren kannst.

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Das Ausklammern von x ist ein Schritt, der sich im weiteren Verlauf als überflüssig erweist.