Wie kürze ich diesen Bruchterm?

Question

Aufgabe:

(b) Vereinfachen Sie
\( \frac{\left(\frac{5 x^{2}}{y^{3 n}}\right)^{2}\left(\frac{y^{-5}}{3 x^{4}}\right)^{3}}{\left(\frac{3 x^{3 n}}{(x y)^{3}}\right)^{2}} \)
für alle \( x, y, n \neq 0 \) so weit wie möglich.

Hallo, für die obenstehende Aufgabe habe ich Zähler und Nenner soweit alles schonmal zusammengefasst, wie unten zu sehen ist. Doch wie Kürze ich das ganze jetzt ? Liebe Grüße Ortwinb

\( \frac{25 x^{4} y^{-15} x^{6} y^{6}}{y^{6 n} 27 x^{12} 9 x^{6 n}} \)

Answer 1

Aloha :)

Addiere die Exponenten bei Multiplikation von Faktoren mit gleicher Basis \(a^b\cdot a^c=a^{b+c}\)

$$\phantom{=}\frac{\left(\frac{5x^2}{y^{3n}}\right)^2\left(\frac{y^{-5}}{3x^4}\right)^3}{\left(\frac{3x^{3n}}{(xy)^3}\right)^2}=\frac{\frac{25x^4}{y^{6n}}\frac{y^{-15}}{27x^{12}}}{\frac{9x^{6n}}{x^6y^6}}=\frac{25x^4}{y^{6n}}\frac{y^{-15}}{27x^{12}}\cdot\frac{x^6y^6}{9x^{6n}}=\frac{25x^{10}y^{-9}}{243x^{12}(xy)^{6n}}$$Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt:$$=\frac{25}{243x^{12}x^{-10}y^9(xy)^{6n}}=\frac{25}{243x^2y^9(xy)^{6n}}$$