Wie stelle ich hier die Darstellungsmatrix auf?

Question

Aufgabe:

Sie möchten eine Funktion der Form

\(f_{a, b, c}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a x^{2}+b x+c\)

d.h. ein Polynom zweiten Grades, finden, für die

\(f_{a, b, c}(1)=1 \quad f_{a, b, c}(2)=2 \quad f_{a, b, c}(3)=4 \quad f_{a, b, c}(4)=8\)
gilt. Dies kann auch mit einer linearen Abbildung als Gleichung geschrieben werden
\(\varphi_{f}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4},(a, b, c)=u \mapsto\left(\begin{array}{l}f_{a, b, c}(1) \\f_{a, b, c}(2) \\f_{a, b, c}(3) \\f_{a, b, c}(4)\end{array}\right) \quad \varphi_{f}(u)=\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\4 \\8\end{array}\right)=b\)

. Formulieren Sie die Aufgabe als lineares Gleichungssystem, indem sie die Darstellungsmatrix
\( A \) von
\( \varphi \) aufstellen.

Problem/Ansatz:

Hallo an alle, wie stelle ich hier die Darstellungsmatrix dar ?

Answer 1

Aloha :)

Wir setzen die \(x\)-Werte in die Funktion ein:$$1=f(1)=a+b+c$$$$2=f(2)=4a+2b+c$$$$4=f(3)=9a+3b+c$$$$8=f(4)=16a+4b+c$$und schreiben die erhaltenen Gleichungen in Vektorform:$$\begin{pmatrix}1\\2\\4\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b+c\\4a+2b+c\\9a+3b+c\\16a+4b+c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\4\\9\\16\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\4 & 2 & 1\\9 & 3 & 1\\16 & 4 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$