Bedingte Wahrscheinlichkeit: Das Vorliegen einer HIV-Infektion kann mithilfe eines ELISA-Tests überprüft werden.

Question

Aufgabe:

Das Vorliegen einer HIV-Infektion kann mithilfe eines ELISA-Tests überprüft werden. Dieses
Verfahren, bei dem Antikörper gegen HIV (nicht das Virus selbst) im Blut des Probanden
nachgewiesen werden, verfügt über eine Sensitivität und Spezifität von jeweils 99.5%. Die
Prävalenz der HIV-Infektion beträgt in Deutschland etwa 0.01% unter Mitgliedern der so
genannten „low-risk“ Population (d.h. heterosexuell, nicht drogenabhängig etc.) und 15% unter
intravenösen Drogenbenutzern.
a. Ermitteln Sie für beide Bevölkerungsgruppen die jeweiligen positiv prädiktiven Werte des
ELISA-Tests.

Problem/Ansatz:

Folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten habe ich notiert:

A₁ = Test positiv; A₂ = Test negativ;  B₁ = HIV positiv

Spezifität: P (A₂ | B₂) = 0.995; Sensitivität: P (A₁ | B₁) = 0.995

Prävalenz der Low-risk-Population: P(B₁) = 0.0001; Prävalenz der intravenösen Drogenbenutzer: P(B₂) = 0.15

Um in a) den positiv prädiktiven Wert der Low-Risk-Population zu berechnen, hätte ich den Satz von Bayes ausgerechnet, also:

P (B₁ | A₁) = P (A₁ | B₁) * P (B₁) / [ P (A₁ | B₁) * P (B₁) + P (A₁ | B₂)* P (B₂) ]

Allerdings weiß ich nicht welche Werte ich für P (A1 | B2)* P (B2) einsetzen soll, da ich hierfür keine Werte habe. Was mache ich bloß falsch?

Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt. Bitte mit Lösungsweg und die Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeiten wie oben.

Vielen Dank!

Answer 1

Der positive prädiktive Wert beschreibt den Anteil der Personen mit positivem Testergebnis, bei denen die gesuchte Krankheit auch tatsächlich vorliegt. Der negative prädiktive Wert beschreibt den Anteil der Personen mit negativem Testergebnis, die tatsächlich frei von der gesuchten Krankheit sind.

Davon ausgehend ergibt sich für:

a) die low-risk- Population:

0,0001*0,995/(0,0001*0,995+0,9999*0,005) = 1,95 %

b) Drogenbenutzer:

0,15*0,995/(0,15*0,995+0,95*0,005) = 96,92%

Comments

Vielen vielen Dank!

Ich hätte noch eine allgemeine Frage:

und zwar ist das Komplentär von P (A1 | B2) dann P (A1 | B1), also: P (A₁ | B₂) = 1 - P (A₁ | B₁) ?