Weiß jemand, was bei dieser Determinantenberechnung falsch ist?

Question

Aufgabe:

Weiß jemand, was bei dieser Determinantenberechnung falsch ist?
Die erste Matrix ist schon richtig und rauskommen soll -4.
Ich weiß, dass es viele verschiedene Verfahren gibt, allerdings möchte ich es durch die Dreickform berechnen und eben so, dass man die 2 "herauszieht" (siehe Bild, dann ist es genauer). Daher bitte diesen Rechenweg verwenden - danke.

...

\( -\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -2 & -2\end{array}\right) \)
\( =2 \cdot(-\operatorname{det})\left(\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -1 & -1\end{array}\right) \)  | *5 - III
\( =2 \cdot(-\operatorname{det})\left(\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
\( 2 \cdot(-(-1) \cdot 2 \cdot(-5) \cdot 1)=-20 \)

Answer 1

Das sollte vermutlich wie folgt aussehen:

$$\det\begin{pmatrix} -1&1&0&0 \\ 0&2&3&5 \\ 0&0&-5&-6 \\ 0&0&-2&-2 \end{pmatrix}\\ = - \det \begin{pmatrix} 2&3&5 \\ 0&-5&-6 \\ 0&-2&-2 \end{pmatrix}\\ = -2 \cdot \det \begin{pmatrix} -5&-6 \\ -2&-2 \end{pmatrix}\\ = -2 \cdot (-5 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-6))\\ = -2 \cdot (10 - 12)\\ = -2 \cdot (-2)\\ = 4$$

Du darfst nicht ungestraft Zeilen einfach so multiplizieren und teilen wie du willst.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du die Determinante mit Hilfe der Dreieckform berechnen möchtest, empfehle ich, die 4-te Spalte von der 3-ten Spalte zu subtrahieren. Dann kannst du dir alle anderen Umformungsschritte sparen:

$$\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 3 & 5\\0 & 0 & -5 & -6\\0 & 0 & -2 & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & -2 & 5\\0 & 0 & 1 & -6\\0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right|=(-1)\cdot2\cdot1\cdot(-2)=4$$

Du hättest bei deiner Rechnung \(\frac15\) der 3-ten Zeile von der 4-ten Zeile subtrahieren können, hast dich dabei aber irgendwie verheddert.