könnte jemand zeigen ,wie berechnet man die Determinante der Matrix für t?

Question

A =
 t            1          1          1
1 − t      t − 1        0          0
1 − t         0        t − 1       0
1 − t         0          0       t − 1

und
t ∈ R

hallo, könnte bitte jemand zeigen ,wie berechnet man die Determinante der Matrix für t ?

Answer 1

Aloha :)

Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn du das Vielfache einer Spalte/Zeile zu einer anderen Spalte/Zeile addierst. Addiere zu der ersten Spalte alle 3 anderen Spalten:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{cccc}t & 1 & 1 & 1\\1-t & t-1 & 0 & 0\\1-t & 0 & t-1 & 0\\1-t & 0 & 0 & t-1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}t+1 & 1 & 1 & 1\\0 & t-1 & 0 & 0\\1-t & 0 & t-1 & 0\\1-t & 0 & 0 & t-1\end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{cccc}t+2 & 1 & 1 & 1\\0 & t-1 & 0 & 0\\0 & 0 & t-1 & 0\\1-t & 0 & 0 & t-1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}t+3 & 1 & 1 & 1\\0 & t-1 & 0 & 0\\0 & 0 & t-1 & 0\\0 & 0 & 0 & t-1\end{array}\right|$$

Wenn eine Matrix Dreieckgestalt hat (wie nach der Umformung), ist ihre Determinate das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen:$$=(t+3)(t-1)^3$$