Tangentengleichung aufstellen mit einer Geraden

Question

Aufgabe:

Hallo ihr Lieben, ich habe eine kleine Schwierigkeit beim Aufstellen einer Tangentengleichung.

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/48x^3 - 3/8x^2 +27/16x +1

In dem ersten Teil der Aufgabe soll man eine Geradengleichung aufstellen mit den Punkten H(3|13/4) und T(9|1).

Dies ist aber kein Problem.

Als Ergebnis habe ich f(x) = -3/8x +4,375

Jedoch bereitet mir der zweite Teil der Aufgabe Schwierigkeiten.

Diese lautet:

Berechnen Sie, für welches x<3, die Tangente an f(x) die Gerade s orthogonal schneidet und stellen sie die zugehörige Tangentengleichung auf.

Problem/Ansatz:

Nun zu dem Problem.

Ich habe zuerst die Steigung der Tangenten ermittelt, mit Hilfe des Verhältnis m1*m2 =-1, also muss die Steigung der Tangenten 8/3 sein…

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll, um die Tangentgleichung aufzustellen…

Ich würde mich über Eure Hilfe freuen und ich danke schonmal im Voraus.

Answer 1

Hallo,

setze f'(x) = 8/3 und löse nach x auf.

Das Ergebnis < 3 ist das gesuchte. Berechne dann noch die y-Koordinate und du hast alles, was du für die Gleichung brauchst.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank ! Jetzt habe ich es verstanden…. Habe mal wieder zu kompliziert gedacht.

Answer 2

Da deine Gerade f(x) = -3/8*x +4,375 die Steigung -3/8 hat ist eine Senkrechte Steigung dazu 8/3. Wir müssen also schauen wo unsere Funktion die Ableitung 8/3 hat.

f(x) = 1/48·x^3 - 3/8·x^2 + 27/16·x + 1

f'(x) = 1/16·x^2 - 3/4·x + 27/16 = 8/3 → x = 6 - √465/3 = - 1.188

Skizze

~plot~ 1/48x^3-3/8x^2+27/16x+1;4.375-0.375·x;2.667x+1.599;{3|13/4};{9|1};[[-3|15|-4|8]] ~plot~

Comments

Vielen Dank erstmal für die sehr hilfreiche Antwort.

Jedoch habe ich noch eine Frage…

Wie berechne ich mit der Nullstelle -1.188 dann den x-Achsenabschnitt ?

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Ich nehme an, du meinst den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Setze die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Geradengleichung ein. Ich denke, auf diesem Weg hattest du auch die Gleichung durch die Extrempunkte bestimmt.

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Habe mich vertippt ich meinte natürlich den Schnittpunkt mit der y-Achse :)

Ich habe das so versucht :

P(-1,188|0)

y=m*x +b

0=8/3*-1,188+b

0=-3,168 +b |+3,168

3,168=b

Ich komme irgendwie nicht auf die 1,6 beim Schnittpunkt mit der y-Achse.

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Die y-Koordinate des Punktes ist nicht null, sondern f(-1,188) = -1,569

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Allgemeine Tangentengleichung in der Punkt-Steigungs-Form

t(x) = f'(6 - √465/3)·(x - (6 - √465/3)) + f(6 - √465/3)

Man kann natürlich auch die gerundete Dezimalzahl einsetzen.