Ist das Viereck ABCD eine Raute oder ein Quadrat?

Question

Aufgabe: Raute oder Quadrat

Ist das Viereck ABCD eine Raute oder ein Quadrat? (2,4,2), B(4,5,0), C(5,7,2), D(3,6,4)

Problem/Ansatz: Die Aufgabe sollte mithilfe von "Test auf Rechtwinkligkeit" gelöst werden, also keine Vektoren.

Ich versuchte die Aufgabe zu rechnerisch zu lösen doch bin nicht sicher, ob es  stimmt. Außerdem tippte ich die Punkte in 3D GeoGebra ein und es war ziemlich verwirrend. Meine Lösung war, dass es sich nicht um einen Quadrant handelt, doch GeoGebra zeigte mir etwas anderes?

Ich würde sehr dankbar sein, wenn mir jemand das Lösung verraten könnte oder ein paar Tipps geben könnte, die mir das erleichtern würden.

PS: Wir dürften keine Vektoren benutzen.

Answer 1

A(2,4,2), B(4,5,0), C(5,7,2), D(3,6,4)

Abstand von A nach B

|AB| = √((4 - 2)^2 + (5 - 4)^2 + (0 - 2)^2) = 3

Ebenso andere Abstände

|AD| = √((3 - 2)^2 + (6 - 4)^2 + (4 - 2)^2) = 3

|BC| = √((5 - 4)^2 + (7 - 5)^2 + (2 - 0)^2) = 3

|CD| = √((3 - 5)^2 + (6 - 7)^2 + (4 - 2)^2) = 3

Damit sind alle 3 Seiten gleich lang und das Viereck wäre eine Raute/Rombus.

|BD| = √((3 - 4)^2 + (6 - 5)^2 + (4 - 0)^2) = 3·√2

Nun gilt der Satz des Pythagoras

|AB|^2 + |AD|^2 = |BD|^2
3^2 + 3^2 = (3·√2)^2

Damit ist bei A ein rechter Winkel. Und dazu musste es sich, wenn es sich um ein ebenes Viereck handelt ein Quadrat sein.

Bei Bedarf könnte man aber auch noch die Rechtwinkligkeit an den Punkten B, C und D prüfen.

So schaut das in Geogebra aus

Comments

Es ist sehr hilfreich, vielen Dank!