Können linear unabhängige Vektoren ein Erzeugendensystem erzeugen?

Question

Aufgabe:

Es seien v1, . . . , vn ∈ Rⁿ linear unabhängig. Die Vektoren v1, . . . , vn bilden eine Basis von
Rⁿ

Problem/Ansatz:

Die Aussage wurde in der Vorlesung als Wahr bezeichnet, ist sie jedoch nicht falsch da die Vektoren auch noch ein Erzeugendensystem erzeugen müssen? Oder folgt aus linear unabhängigen Vektoren auch, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem erzeugen können?

Comments

Ja. Genau das folgt, da die Anzahl der lin. unabhängigen
Vektoren gleich der Dimension ist, also ein maximales
linear unabhängiges System und daher eine Basis vorliegt.

Answer 1

Wenn die Dimension eines Vektorraums V bekannt ist, sagen wir sie ist n; dann bilden n linear unabhängige Vektoren auch ein Erzeugendensystem, bilden damit eine Basis.

Answer 2

Aloha :)

Die 3 Vektoren \((1|0|0)^T\), \((0|1|0)^T\) und \((0|0|1)^T\) bilden ein Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\) und sind linear unabhängig. Die Antwort auf deine Frage lauet also "Ja".

Ein Erzeugendensystem, das nur linear unabhängige Vektoren enthält, nennt man Basis.

Answer 3

Wenn die Anzahl der linear unabhängigen
Vektoren gleich der Dimension ist, dann liegt ein maximales
linear unabhängiges System vor und das ist eine Basis,
also insbesondere ein Erzeugendensystem.