Warum ist die Lösungsmenge leer?

Question

Aufgabe:

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

Problem/Ansatz:

Nach dem Quadrieren erhält man:

x-4=4

Damit wird x=8

Aber der Lehrkörper sagt: “Falsch! Die Lösungsmenge ist die Leere Menge.” Warum ist das so?

Answer 1

Die Wurzelfunktion in \(\mathbb{R}\) kann nur nicht-negative Werte annehmen, so ist sie definiert. Ansonsten wäre sie ja keine Funktion, denn würden wir auch negative Werte als Ausgabe zulassen, so würde z.B. \(\sqrt{4}\) sowohl auf 2 als auch -2 mappen, das ist aber unmöglich für eine Funktion.

Comments

Akzeptiert! 1 Wert muss entfallen, sonst gäbe es zu 1 x-Wert 2 y-Werte.

Trotzdem habe ich folgenden Einwand: Man hätte auch definieren können, dass nur die negativen Werte als Lösung gelten. Auch damit wäre wieder die Eindeutigkeit bzw. das Mapping gegeben.

Gibt es also einen besonderen Grund, weshalb man sich auf die positiven Werte als Lösung „geeinigt“ hat? Oder ist es einfach nur Pragmatismus, Schreibfaulheit, …?

Answer 2

Mach doch mal die Probe und gibt in den Taschenrechner für x 8 ein

√(8 - 4) = √4

Was gibt der Taschenrechner aus. Nur 2 und nicht -2

Die Wurzel ist als die positive Zahl definiert, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ergibt.

Daher muss man wenn man quadriert unbedingt nachher noch die Probe machen, weil man durch das quadrieren Scheinlösungen bekommen kann. Also Lösungen die eigentlich gar keine sind.

Merke: Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung.

Comments

Der Taschenrechner weiß aber nicht, ob ich gerade die Lösungsmenge einer Potenzfunktion (f(x)=x²) suche oder die einer Wurzelfunktion, der gibt immer nur den positiven Wert aus.

Deshalb kann ich mich mit dieser Argumentation nicht anfreunden.

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Suchst du die Lösung von x^2 = 4, dann ziehst du die Wurzel und schreibst explizit das ± dazu, weiol dies nicht automatisch in der Wurzel enthaltten ist.

x^2 = 4

x = ± √4 = ± 2

Du siehst die Wurzel aus 4 ergibt hier auch nur 2 und nicht automatisch auch die -2.

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Man hätte auch definieren können, dass nur die negativen Werte als Lösung gelten.

Ja, das hätte man auch tun können.           .

Wahrscheinlich hätte dann jemand gemeckert, warum man nicht die positiven Werte nimmt.

Ich habe schon die Nase voll davon, dass je nach Glaubensrichtung die 0 eine natürliche Zahl ist oder nicht.

Da ist es mir schon lieber, dass sich wenigstens bei der Quadratwurzel eine mehrheitsgetragene Interpretation durchgesetzt hat.