Für welche Werte k hat die Funktion genau eine Nullstelle?

Question

Hallo! Folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = 3x² + 4x + k
Für welche Werte k hat die Funktion genau eine Nullstelle?

Ich weiß nicht so richtig wie ich hier vorgehen soll, kann mir jemand helfen? Ich habe es schon mit der großen Lösungsformel probiert und diese gleich 0 gesetzt. ich bin aber nicht weitergekommen..

Danke im Voraus!

Answer 1

Hallo;

f(x) =  3x² + 4x + k

    0=  3x² + 4x + k   | :3

    0=   x² + 4/3 x + 1/3 k

   Lösungsformel verwenden

    x_1,2 =  - 2/3 ± _{\( \sqrt{(2/3)²-1/3 k} \)
   wenn die Determinante null ist , hat man nur eine Nullstelle}

                       0= 4/9 -1/3 k   | +1/3 k

                 1/3 k = 4/9            | *3

                       k = \( \frac{3*4}{9} \)

                       k= 4/3

Answer 2

"Gegeben ist die Funktion f(x) = 3x² + 4x + k
Für welche Werte k hat die Funktion genau eine Nullstelle?"

f´(x)=6x+4

6x+4=0

x=-\( \frac{2}{3} \)

f(-\( \frac{2}{3} \)) = 3*(-\( \frac{2}{3} \))² + 4*(-\( \frac{2}{3} \)) + k=\( \frac{4}{3} \)-\( \frac{8}{3} \)+k=-\( \frac{4}{3} \)+k

-\( \frac{4}{3} \)+k=0

k=\( \frac{4}{3} \)

f(x) = 3x² + 4x + \( \frac{4}{3} \)

Answer 3

\(ax^2+bx+c\) hat genau dann exakt eine Nullstelle,

wenn die Diskriminante \(D=b^2-4ac=0\) ist, d.h. in unserem Falle

\(16-12k=0\), also \(k=4/3\).