Summen berechnen, wie kann man bei Wurzeln Summen berechnen

Question

Text erkannt:

\( \sqrt{2}+2+2 \sqrt{2}+\cdots+32 \)

Aufgabe:

Comments

Du sollst wahrscheinlich erkennen, dass diese Summe gleich

$$\sqrt{2}+\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^3+\sqrt{2}^4 \cdot +\sqrt{2}^{10}$$

ist und die Formel für eine geometrische Summe verwenden.

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Du sollst wahrscheinlich erkennen, dass diese Summe gleich

(√2 + 2) * (1 + 2 + ... + 16) ist und die Formel für diejenige Summe anwenden, die für "..."  passt.

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Dein Kommentar scheint übersehen worden zu sein....

Vielleicht schreibst Du ihn nochmal als Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Uns ist folgende Summe gegeben:$$S\coloneqq\sqrt2+2+2\sqrt2+\cdots+32=\left(\sqrt2\right)^1+\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt2\right)^3+\cdots+\left(\sqrt2\right)^{10}$$Diese Summe sortieren wir nach geraden und nach ungeraden Exponenten:$$S_1=\left(\sqrt2\right)^1+\left(\sqrt2\right)^3+\left(\sqrt2\right)^5+\left(\sqrt2\right)^7+\left(\sqrt2\right)^9$$$$S_2=\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt2\right)^4+\left(\sqrt2\right)^6+\left(\sqrt2\right)^8+\left(\sqrt2\right)^{10}=2+4+8+16+32=62$$Die zweite Summe konnten wir schnell ausrechnen. Die erste Summe kriegen wir auch schnell hin:$$S_1=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\left(\left(\sqrt2\right)^2+\left(\sqrt2\right)^4+\left(\sqrt2\right)^6+\left(\sqrt2\right)^8+\left(\sqrt2\right)^{10}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\cdot S_2=\frac{62}{\sqrt2}$$Damit sind wir fertig:$$S=S_1+S_2=62+\frac{62}{\sqrt2}=62+31\sqrt2\approx105,8406\ldots$$

Answer 2

Wie im ersten Kommentar bemerkt:

geometrische Summe mit a=√2  und q=√2

und n=10

Nach der Summenformel s= a * ( q^n - 1 ) / (q-1)

= √2 * ( (√2)^10 - 1 ) / (√2-1)

= √2 * ( 32 - 1 ) / (√2-1)

=( 32√2 - √2  ) / (√2-1)

= 31√2  / (√2-1) ≈105,8

oder mit dem 2. Kommentar (2+√2)*31 = 62+31√2  ≈105,8

Comments

Ich fürchte, dass du die Intention des zweiten Kommentars nicht ganz verstanden hast.

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Hier haben die geometrische Summenformel verwendet?

Answer 3

geometrische Reihe:

a1= √2

q= √2

n= 10

-> Summe = √2*( √2^10-1)/(√2 -1) = 105,84