Tangentengleichung und LGS

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - können Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?

1. Gegegeben ist die Funktion f mit f(x) = ln (x + e). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (0/f(0)).

→ y = 1/e + 1

2. Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem mit einem Parameter p e R:

I. 3x + 2y + z = 4

II. 3x + 2y = 5

III. 3x + 2y + pz = 4

Geben Sie einen Wert von p an, für den das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat.

→ p = 1 (III. ist damit gleich I.)

Begründen Sie, dass es keinen Wert von p gibt, für den das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.

→ k. A.

Danke.

Answer 1

f ( x ) = ln ( x + e )

f ´( x )= 1 / ( x + e)

f ( 0 ) = ln ( x + e ) = 1
( 0 | 1 )
f ´( 0 )= 1 / ( 0 + e) = 1 / e

Tangente
y = m * x + b
1 = 1/ e * 0 + b
b = 1

y = 1/ e * x + 1

Answer 2

Hallo,

1. Die Tangentengleichung ist richtig

2. Mit dem Gauß-Verfahren erhältst du

0 = p - 1

Also hat das Gleichungssystem für p = 1, wie du schon geschrieben hast, unendlich viele Lösungen.

Für \(p\neq 1\) gibt es keine Lösung, also auch keine eindeutige.

Gruß, Silvia

Comments

Danke. Gibt es dafür allerdings auch einen "mathematischen Nachweis"? Woran mache ich bzw. kann ich fest machen, dass es für p ungleich 1 keine Lösung gibt?

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Tja, mir würde das Argument, dass jede Zahl für p, die ungleich 1 ist, keine Lösung ergibt, reichen, aber das mögen Lehrer/-innen anders sehen.

Warte mal, ob ein anderer Lounger ein besseres Argument hat.

Answer 3

Begründen Sie, dass es keinen Wert von p gibt, für den das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.

I. 3x + 2y + z = 4
II. 3x + 2y = 5
III. 3x + 2y + pz = 4

Aufgrund der ersten und II Zeile muss z = -1 sein. Wenn aber z ein wert ungleich null hat dann widerspricht die dritte gleichung mit p ≠ 1 der ersten gleichung und damit kann es dann keine Lösung geben.

I - II
z = -1

III - I
(p - 1)*z = 0

wenn p ≠ 1 gilt dann müsste z = 0 sein. Das gibt dann aber einen Widerspruch.

Comments

Vielen herzlichen Dank.

Wie kommt es aber zu (p - 1)? Wie kommt die 1 zustande, wenn III von I subtrahiert wird?

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Was ist pz -1z, wenn man z ausklammert?