gebrochen rationale funktionen losen

Question

Aufgabe:

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2. Gegeben ist die Funktion \( g: x \mapsto g(x)=\frac{4 x+5}{x^{2}-1} \) mit maximaler Definitionsmenge \( \mathrm{D}_{\mathrm{g}} \)
2a) Bestimmen Sie \( D_{g} \)
2b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte, die \( \mathrm{G}_{\mathrm{g}} \) mit den Koordinatenachsen gemeinsam hat.
2c) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten an.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$g(x)=\frac{4x+5}{x^2-1}$$

zu a) Da wir nicht durch \(0\) dividieren können, scheiden \(x=1\) und \(x=-1\) aus der Definitionsmenge aus:$$D_g=\mathbb R\setminus\{-1;1\}$$

zu b) Für die Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt:$$0\stackrel!=f(x)=\frac{4x+5}{x^2-1}\implies 4x+5=0\implies x=-\frac54\implies S_x\left(-\frac54\bigg|0\right)$$Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse erhalten wir durch Einsetzen von \(x=0\):$$f(0)=\frac{4\cdot0+5}{0^2-1}=\frac{5}{-1}=-5\implies S_y(0|-5)$$

zu c) Zur Angabe der Asymptoten, formen wir den Funktionsterm etwas um:$$g(x)=\frac{4x+5}{x^2-1}=\frac{4x+4+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{4x+4}{(x-1)(x+1)}+\frac{1}{(x-1)(x+1)}$$$$\phantom{g(x)}=\frac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}$$Für \(x\to\pm\infty\) konvergieren beide Brüche gegen \(0\). Eine Asymptote ist also die \(x\)-Achse.

Die beiden anderen Asymptoten sind bei den Definitionslücken \(x=-1\) und \(x=+1\) zu finden, es sind Parallelen zur \(y\)-Achse.

~plot~ (4x+5)/(x^2-1) ; {-5/4|0} ; {0|-5} ; 0 ; x=-1 ; x=1 ; [[-10|10|-10|8]] ~plot~

Answer 2

a) D_g=ℝ\{-1, +1}

b) x=-5/4 als Nullstelle und y=-5 als y-Achsen-Durchlauf.

c) x=1, x=-1 an den Polstellen und y=0 für x→±∞.

Answer 3

a) x^2-1 ≠ 0

x ≠± 1

D = R \{-1;1}

b) x- Achse:

g(x) =0

4x+5 =0

x= -5/4

g(-5/4) = ...

y- Achse:

f(0) = 5/-1 = -5 -> P(0;-5)

c)  x -> +-oo -> g(x) = 0

Asymptote: y= 0

x ->1 -> g(x) -> +-oo

Asymptote: x= +-1

Answer 4

\( g: x \mapsto g(x)=\frac{4 x+5}{x^{2}-1} \)

2a)\( \mathrm{D}_{\mathrm{g}} \)   alles in ℝ ohne x=1 und x=-1

2b) Schnitt mit x-Achse:  4 x+5=0    x=-\( \frac{5}{4} \)

Schnitt mit y-Achse:  g(0)=-5

Asymptoten:

senkrechte Asymptoten: x=-1 und x=1

waagerechte Asymptote ist die x-Achse