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Aufgabe:

Gegeben ist eine Gebrochen-rationale Funktion \( \mathrm{f} \) durch den Funktionsterm

\( f(x)=\frac{3 x}{x^{2}-4} \)
Der Graph von \( f \) sei Gf.
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion \( f \).
b) Untersuchen Sie, ob der Graph G f achsensymmetrisch zur y -Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
c) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
d) Zeigen Sie: für die Ableitung \( f^{\prime} \) von \( f \) gilt: \( f(x)=\frac{-3\left(x^{2}+4\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}} \)
e) Begründen Sie mit Hilfe des Terms der Ableitung, dass der Graph von \( \mathrm{f} \) kein lokales Extremum besitzt sondern im gesamten Definitionsbereich streng monoton fällt.


Problem/Ansatz:

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f(x) = 3x / (x^2 - 4)

f'(x) = - 3·(x^2 + 4) / (x^2 - 4)^2

Der Zähler ist hier immer negativ und der Nenner bis auf die Polstellen immer Positiv. Damit ist dre Graph immer streng monoton fallend.

Avatar von 487 k 🚀

Das kann man so nicht sagen. Beispielsweise ist f(1) = -1 und f(4) = 1.

Die Funktion ist streng monoton fallend in Ihren stetig zusammenhängenden Bereichen.

Vielen Dank, ist der Graph Punktsymmetrisch oder Achsen ?

3x ist eine punktsymmetrische Funktion

x^2 - 4 ist eine achsensymmetrische Funktion

Der Quotient aus einer punkt- und einer achsensymmetrischen Funktion ist wieder eine punktsymmetrische Funktion.

Vielen Dank, ich habe es so gelöst

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Variante von März 2022:

Titel: Wie kann ich e (Monoton) lösen?

Stichworte: bruchgleichung

Guten Tag Leute,

Wie kann ich e lösen ?7BF03E8B-53FE-4011-B5CA-D3CB0FB2C03F.jpeg

Text erkannt:

1. Gegeben ist eine Gebrochen-rationale Funktion \( \mathrm{f} \) durch den Funktionsterm
\( f(x)=\frac{3 x}{x^{2}-4} \)
Der Graph von f sei Gf.
e) Begründen Sie mit Hilfe des Terms der Ableitung, dass der Graph von \( f \) kein lokales Extremum besitzt sondern im gesamten Definitionsbereich streng monoton fällt.

Aufgabe:

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Bei welcher der Aufgaben steckst du denn fest.

Aufgabe e) wurde bereits beantwortet: https://www.mathelounge.de/923554/wie-kann-ich-e-monoton-losen

Avatar von 487 k 🚀

bei c bitte

b)

3x ist eine punktsymmetrische Funktion

x^2 - 4 ist eine achsensymmetrische Funktion

Der Quotient aus einer punkt- und einer achsensymmetrischen Funktion ist wieder eine punktsymmetrische Funktion.

c)

Vertikale Asymptoten an den Polstellen

x = -2 und x = 2

Da der Nennergrad > Zählergrad hat man eine Horizontale Asymptote y = 0

vertikale asymptoten sind auch senkrechte asymptoten ?

Ja. Senkrecht zur x-Achse. Senkrecht zur y-Achse wäre allerdings waagerecht :)

vielen dank fur ihre hilfe

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