Aufgabe:
Löse die folgenden beiden Differentialgleichungen:
a) \( y^{\prime}=e^{x+y}, y(1)=0 \)
Problem/Ansatz:
Es sind \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=g(x):=e^{x} \) stetig. Somit liegt hier eine separierbare Differentialgleichung vor.
Wegen \( g(0)=1 \neq 0 \) ist die Differentialgleichung eindeutig lösbar. Definiere zunächst \( F(x):=\int \limits_{1}^{x} e^{t} \mathrm{~d} t=e^{x}-e \),
sowie \( H(y):=\int \limits_{0}^{y} \frac{1}{e^{s}} \mathrm{~d} s=\left[-e^{-s}\right]_{0}^{y}=1-e^{-y} \). Bestimme nun \( H^{-1}(x) \) : Es gilt
\( 1-e^{-y}=x \Leftrightarrow-e^{-y}=x-1 \Leftrightarrow e^{-y}=1-x \Leftrightarrow-y=\ln (1-x) \Leftrightarrow y=-\ln (1-x)=H^{-1}(x) \). Die eindeutige Lösung ist nun gegeben durch \( \psi(x)=H^{-1}(F(x))=-\ln \left(1-e^{x}\right) \).
Hallo,
ich beschäftige mich grade mit Anfangswertproblemen
und verstehe nicht ganz die Lösungen wenn es zu separierbaren
Differentialgleichungen kommt.
Vor allem seh ich häufig, dass bei den Äquivalenzumformungen am
Ende immer nach einem y bzw. phi aufgelöst wird.
Unterscheiden sich das phi und das y
bei den Anfangswertproblemen?
Daher frage ich mich hier auch, warum man hier H^(-1) nimmt, kann man nicht einfach H(x) = F(x)
als Gleichung benutzen und dann u.a. mit dem Logarithmus nach dem y auflösen?
