Differentialgleichung, Anfangswertproblem. y'=y^2-2y+sin(x)\cdot (sin(x)-1) Anfangswert (0,2)

Question

wie kann ich überprüfen (mittels kleiner und großer Probe), dass durch φ(x)=cos(x)+1 eine Lösung des Anfangswertsproblem für

$$ y'=y^2-2y+sin(x)\cdot (sin(x)-1) $$ mit Anfangswert (0,2)

gegeben ist:

Answer 1

y(x) = cos(x) + 1

y'(x) = - sin(x)

Einsetzen in die Differentialgleichung

y' = y^2 - 2y + sin(x) * (sin(x) - 1)

- sin(x) = (cos(x) + 1)^2 - 2(cos(x) + 1) + sin(x) * (sin(x) - 1)

- SIN(x) = COS(x)^2 + 2·COS(x) + 1 - 2·COS(x) - 2 + SIN(x)^2 - SIN(x)

0 = 0 --> stimmt

Anfangsbedingung:

y(0) = cos(0) + 1 = 2 --> stimmt auch