Differentialgleichung. Anfangswertproblem mittels Trennung der Variablen lösen. y' = y sin x mit x = pi/2, y = -1

Question

Lösen Sie die folgenden DGLn mit Anfangswertproblem mittels Trennung der Variablen und anschließender bestimmter Integration, d.h unter Umgehung der allg. Lösung:

y' = y sin x                                  mit x = pi/2, y = -1

Leider habe ich hier absolut keinen Lösungsansatz :/

Answer 1

$$y'=y\space sin(x)\\x=\frac{π}{2}\\y=-1\\ \frac{dy}{dx}=y\cdot sin(x)\\\int_{-1}^{y}\frac{dy}{y}=\int_{\frac{π}{2}}^{x}sin(x)\cdot dx\\ ln|y|-ln|-1|=-cos(x)-(-cos(\frac{π}{2}))\\ ln|y|-0=-cos(x)+0\\ ln|y|=-cos(x)\\|y|=e^{-cos(x)}\\y=\pm e^{-cos(x)}\\y=-e^{-cos(x)}\text{(wegen d. AWB)}$$

                                                                             

Comments

is das korrekt?

Answer 2

Leider habe ich hier absolut keinen Läsungsansatz :/

Der Ansatz ist schon in der Aufgabenstellung gegeben:

Lösung durch Trennung der Variablen.

Hast du das schon mal probiert?

Comments

Ich habe diese Gleichung nur "normal" lösen können: y = e ^ (-cosx)+c. Aber für was brauche ich pi/2 oder -1?

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Das ist ja schon mal ein Anfang. Beachte, dass die Konstante C als Faktor vor der e-Funktion auftaucht, nicht als Summand.

Du kannst nun mithilfe der Gleichung y(pi/2)=-1

die Konstante C bestimmen. Allerdings hast du damit die allgemeine Lösung vorher bestimmt, was ja laut Aufgabenstellung vermieden werden sollte.

Nach dem Trennen der Variablen hast du auf beiden Seiten das unbestimmte Integral gebildet,

integriere stattdessen

auf der linken Seite von y0=-1 bis y und auf der rechten Seite von x0=pi/2 bis x .

Damit wird die Integrationskonstante  C sofort festgelegt.

So hier:

$$ \int_{-1}^{y}dy/y=\int_{\pi/2}^{x}sin(x)dx $$

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Ist c = - 0,368?

Mir persönlich ist es vorrangig nicht wichtig, wie ich die allg. Lösung umgehen kann. Aber das mit dem AWP will nicht in meinen Kopf rein (falls oben stimmt nehme ich alles zurück :D)

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Nö es kommt die Lösung von unten heraus ;).

Die Fehler liegen hier:

COS(π/2)=0 und nicht 1

Aus LN(|y|)=COS(x)+C

folgt |y|=e^{COS[x]+C}

und damit y=±e^{COS[x]+C}

Wenn man in der letzten  Gleichung die Awb einsetzt ergibt sich

-1=±e^{C}

Dies ist nur lösbar,  wenn vor dem e ein Minus steht. Dann ergibt sich 1=e^C -->C=0

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Vielen Dank für die nachträglich Erleuterung