Berechne die Funktionswerte mit Hilfe der Additionstheoreme.

Question

a) sin135°

b) cos135°

c) cos105°

d) sin195°

e) cos120°

f) sin150°

g) cos225°

h) sin225°

(Anleitung : Zerlege die Winkel in eine Summe oder Differenz zweier Winkel, von denen du die Funktionswerte kennst)

Answer 1

a) sin135° = sin ( 90 ° + 45 ° )
sin ( 90 ° ) * cos ( 45 ° ) + cos ( 90 ° ) * sin ( 45 ° )
= 1 * 0,5 * √ 2 + 0 * 0,5 * √ 2
= 0,5 * √ 2

b) cos135° = cos ( 90 ° + 45 ° )
= cos ( 90 ° ) * cos ( 45 ° ) - sin ( 90 ° ) * sin ( 45 ° )
= 0 * 0,5 * √ 2 - 1 * 0,5 * √ 2
= - 0,5 * √ 2

c) cos105° = cos ( 60 ° ) + cos ( 45 ° )
= cos ( 60 ° ) * cos ( 45 ° ) - sin ( 60 ° ) * sin ( 45 ° )
= 0,5 * 0,5 * √ 2 -  0,5 * √ 3 * 0,5 * √ 2
= 0,25 * √ 2 - 0,25 * √ 6
= 0,25 * ( √ 2 - √ 6 )

d) sin195° = sin ( 135 ° + 60 ° )
= sin ( 135 ° ) * cos ( 60 ° ) + cos ( 135 ° ) * sin ( 60 ° )
= 0,5 * √ 2 * 0,5 + ( - 0,5 * √ 2 ) * 0,5 * √ 3
= 0,25 * √ 2 - 0,25 * √ 6
= 0,25 * ( √ 2 - √ 6 )
oder auch mit der Formel für die Phasenverschiebung und dem Ergebnis aus c):
sin195° = sin ( 105 ° + 90 ° ) = cos ( 105 ° ) = 0,25 * ( √ 2 - √ 6 )

e) cos120° = cos ( 90 ° ) + cos ( 30 ° )
= cos ( 90 ° ) * cos ( 30 ° ) - sin ( 90 ° ) * sin ( 30 ° )
= 0 * 0,5 * √ 3 - 1 * 0,5
= - 0,5
oder auch mit der Formel für die Phasenverschiebung:
cos ( 120 ° ) = cos ( 30 ° + 90 ° ) = - sin ( 30 ° ) = - 0,5

f) sin150° = sin ( 180 ° - 30 ° )
= sin ( 180 ° ) * cos ( 30 ° ) - cos ( 180 ° ) * sin ( 30 ° )
= 0 * 0,5 * √ 3 - ( - 1 ) * 0,5
= 0,5
oder auch mit der Formel für die Phasenverschiebung:
sin150° = sin ( 60 ° + 90 ° ) = cos ( 60 ° ) = 0,5

g) cos225° = cos ( 180 ° + 45 ° )
= cos ( 180 ° ) * cos ( 45 ° ) - sin ( 180 ° ) * sin ( 45 ° )
= ( - 1 ) * 0,5 * √ 2 - 0 * 0,5 * √ 2
= - 0,5 * √ 2
oder auch mit der Formel für die Phasenverschiebung und dem Ergebnis aus a):
cos ( 225 ° )  = cos (135 ° + 90 ° ) = - sin ( 135 ° ) =  - 0,5 * √ 2

h) sin225° = sin ( 180 ° + 45 ° )
= sin ( 180 ° ) * cos ( 45 ° ) + cos ( 180 ° ) * sin ( 45 ° )
= 0 * 0,5 * √ 2 + ( - 1 ) * 0,5 * √ 2
= - 0,5 * √ 2
oder auch mit der Formel für die Phasenverschiebung und dem Ergebnis aus b):
sin ( 225 ° )  = sin (135 ° + 90 ° ) = cos ( 135 ° ) =  - 0,5 * √ 2

Answer 2

SIN(a + b) = SIN(a)·COS(b) + COS(a)·SIN(b)
SIN(a - b) = SIN(a)·COS(b) - COS(a)·SIN(b)
COS(a + b) = COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b)
COS(a - b) = COS(a)·COS(b) + SIN(a)·SIN(b)

Ich mache das mal hier für die Aufgabe a) vor

SIN(135) = SIN(90 + 45) = SIN(90)·COS(45) + COS(90)·SIN(45) = 1·√2/2 + 0·√2/2 = √2/2

Nun Probier mal die Aufgaben allein nach dem vorgegebenen Schema zu lösen.