f(x)=1+x+x^2 - Ist das Polynom irreduzibel?

Question

Aufgabe:

$$ \text{ Betrachten Sie den Polynomring } \mathbb{Z}_{2}[x] \text{ und das Polynom }  f(x)=1+x+x^2. \text{ Ist das Polynom irreduzibel? } $$

Problem/Ansatz:

Wie überprüfe ich das? Bitte ruhig "einfach" verständlich, falls geht, Danke :-)

Answer 1

Wenn das Polynom reduzibel wäre, würde es das Produkt zweier

linearer Polynome sein: \(f(x)=(x-a)(x-b)\), das hätte aber zur Folge, dass

\(f\) eine Nullstelle im Koeffizientenkörper hätte.

Es ist aber \(f(0)=1\neq 0\), sowie \(f(1)=1\neq 0\).

Also ist \(f\) irreduzibel.

Comments

Ok, super hab es verstanden. Es wird noch weiter gefragt: Betrachten Sie die Menge Z₂[x] .Wie viele Elemente besitzt die Menge? Schreiben Sie die Elemente der Menge als Polynome auf.

Verstehe nicht was die mit Menge meinen, doch nicht {0,1} oder? Wie soll man das als Polynome aufschreiben?

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Betrachten Sie die Menge Z2[x]

Sicher?

Der Polynomring hat unendlich viele Elemente..

Oder sollst du evtl Z_2[x]/(f) betrachten?

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Oder sollst du evtl Z_2[x]/(f) betrachten?

Ja sorry, du hast recht. Ja genau das soll ich: Z2[x]_f

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Ok, habe schon. Werde es nachher hier reinschreiben.